Задача 78656 Решить уравнение тригонометрическое:...
Условие
Решение
Во-первых, ctg^(-1) a = 1/ctg a = tg a
1/sin x = tg 3x
Для синуса, косинуса и тангенса тройного угла есть формулы:
sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a)
cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3)
tg 3a = sin 3a/cos 3a
Подставляем:
[m]\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x \cdot (3 - 4 \sin^2 x)}{\cos x \cdot (4cos^2 x - 3)}[/m]
По правилу решения пропорций:
cos x*(4cos^2 x - 3) = sin x*sin x*(3 - 4sin^2 x)
cos x*(4cos^2 x - 3) = sin^2 x*(3 - 4sin^2 x)
Заменим все sin^2 x = 1 - cos^2 x:
cos x*(4cos^2 x - 3) = (1 - cos^2 x)*(3 - 4 + 4cos^2 x)
Замена t = cos x, по определению косинуса: t ∈ [-1; 1]
t(4t^2 - 3) = (1 - t^2)(-1 + 4t^2)
4t^3 - 3t = -1 + t^2 + 4t^2 - 4t^4
Переносим всё налево:
4t^4 + 4t^3 - 5t^2 - 3t + 1 = 0
Получили уравнение 4 степени, как его решать, непонятно.
Пробуем подбором:
f(t) = 4t^4 + 4t^3 - 5t^2 - 3t + 1
f(-2) = 4*(-2)^4 + 4*(-2)^3 - 5*(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 4*16 - 4*8 - 5*4 + 6 + 1 = 19 > 0
f(-1) = 4*(-1)^4 + 4*(-1)^3 - 5*(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4*1 - 4*1 - 5*1 + 3 + 1 = -1 < 0
t1 ∈ (-2; -1), но, так как должно быть t ∈ [-1; 1], то этот корень не подходит.
f(0) = 1 > 0
t2 ∈ (-1; 0) - этот корень подходит.
[m]f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 5(\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{4}{16} + \frac{4}{8} - \frac{5}{4} - \frac{3}{2} + 1 =[/m]
[m] = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{5}{4} - \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{4}{4} = -1 < 0[/m]
t3 ∈ (0; 1/2)- этот корень подходит.
f(1) = 4*1^4 + 4*1^3 - 5*1^2 - 3*1 + 1 = 4 + 4 - 5 - 3 + 1 = 1 > 0
t4 ∈ (1/2; 1) - этот корень подходит.
Нашли все 4 корня, дальше можно не проверять.
Теперь можно уточнить.
t2 ∈ (-1; 0)
[m]f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^4 + 4(-\frac{1}{2})^3 - 5(-\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{4}{16} - \frac{4}{8} - \frac{5}{4} + \frac{3}{2} + 1 =[/m]
[m] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{5}{4} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{5}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{4}{4} = 1 > 0[/m]
t2 ∈ (-1; -1/2)
[m]f(-\frac{3}{4}) = 4(-\frac{3}{4})^4 + 4(-\frac{3}{4})^3 - 5(-\frac{3}{4})^2 - 3(-\frac{3}{4}) + 1 = \frac{81}{64} - \frac{27}{16} - \frac{45}{16} + \frac{9}{4} + 1 =[/m]
[m] = \frac{81}{64} - \frac{288}{64} + \frac{144}{64} + \frac{64}{64} = \frac{145}{64} - \frac{144}{64}= \frac{1}{64} ≈ 0[/m]
t2 ≈ -3/4 = -0,75
cos x = -0,75
[b]x1 = arccos(-0,75) + 2π*n, n ∈ Z[/b]
t3 ∈ (0; 1/2)
[m]f(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^4 + 4(\frac{1}{4})^3 - 5(\frac{1}{4})^2 - 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{64} + \frac{4}{64} - \frac{5}{16} - \frac{3}{4} + 1 =[/m]
[m] = \frac{5}{64} - \frac{20}{64} - \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{69}{64} - \frac{68}{64}= \frac{1}{64} ≈ < 0[/m]
t3 ≈ 1/4 = 0,25
cos x = 0,25
[b]x2 = arccos(0,25) + 2π*k, k ∈ Z[/b]
t4 ∈ (1/2; 1)
[m]f(\frac{3}{4}) = 4(\frac{3}{4})^4 + 4(\frac{3}{4})^3 - 5(\frac{3}{4})^2 - 3 \cdot (\frac{3}{4}) + 1 = \frac{81}{64} + \frac{27}{16} - \frac{45}{16} - \frac{9}{4} + 1 =[/m]
[m] = \frac{81}{64} - \frac{18}{64} - \frac{144}{64} + \frac{64}{64} = \frac{145}{64} - \frac{162}{64}= -\frac{17}{64} < 0[/m]
t4 ∈ (3/4; 1)
t4 ∈ (0,75; 1)
[m]f(0,9) = 4(0,9)^4 + 4(0,9)^3 - 5(0,9)^2 - 3 \cdot 0,9 + 1 ≈ -0,21 < 0[/m]
t4 ∈ (0,9; 1)
[m]f(0,95) = 4(0,95)^4 + 4(0,95)^3 - 5(0,95)^2 - 3 \cdot 0,95 + 1 ≈ 0,325 > 0[/m]
t4 ∈ (0,9; 0,95)
[m]f(0,92) = 4(0,92)^4 + 4(0,92)^3 - 5(0,92)^2 - 3 \cdot 0,92 + 1 ≈ -0,01 ≈ 0[/m]
t4 ≈ 0,92
cos x = 0,92
[b]x3 = arccos(0,92) + 2π*m, m ∈ Z[/b]
Ну это явно олимпиадное задание! Методы решения совершенно не школьные.
И ответ непростой.