Задача 78655 Определить длины диагоналей...

672a1d515a00e67c51d40c50

11/5/2024 1:28:27 PM

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=2m+5n и b=m–5n, где m и n–единичные векторы, угол между которыми 60 °.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

11/5/2024 1:43:11 PM

★

Дано:
- Векторы, составляющие параллелограмм: [m]\vec{a} = 2\vec{m} + 5\vec{n}[/m] и [m]\vec{b} = \vec{m} - 5\vec{n}[/m].
- [m]\vec{m}[/m] и [m]\vec{n}[/m] — единичные векторы.
- Угол между [m]\vec{m}[/m] и [m]\vec{n}[/m] равен [m]60^\circ[/m].

Решение:

Найдем длины диагоналей параллелограмма, сформированного векторами [m]\vec{a}[/m] и [m]\vec{b}[/m].

1. Выразим диагонали:
- Диагональ [m]\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}[/m].
- Диагональ [m]\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}[/m].

2. Найдем [m]\vec{d_1}[/m]:
[m]
\vec{d_1} = (2\vec{m} + 5\vec{n}) + (\vec{m} - 5\vec{n}) = 3\vec{m}
[/m]

3. Найдем [m]\vec{d_2}[/m]:
[m]
\vec{d_2} = (2\vec{m} + 5\vec{n}) - (\vec{m} - 5\vec{n}) = \vec{m} + 10\vec{n}
[/m]

4. Вычислим длины диагоналей. Для этого воспользуемся формулой длины вектора [m]\vec{v} = a\vec{m} + b\vec{n}[/m], которая вычисляется как:
[m]
|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}
[/m]
где [m]\theta = 60^\circ[/m], [m]\cos 60^\circ = \frac{1}{2}[/m].

5. Длина [m]\vec{d_1}[/m] равна:
[m]
|\vec{d_1}| = |3\vec{m}| = 3
[/m]

6. Длина [m]\vec{d_2}[/m]:
- [m]\vec{d_2} = \vec{m} + 10\vec{n}[/m], [m]a = 1[/m], [m]b = 10[/m].
[m]
|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + 10^2 + 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1 + 100 + 10} = \sqrt{111}
[/m]

Ответ:
- Длина диагонали [m]\vec{d_1}[/m]: [m]3[/m].
- Длина диагонали [m]\vec{d_2}[/m]: [m]\sqrt{111}[/m].