Задача 78654 Средствами векторной алгебры вычислить...

Кристина_133949833

5 ноября 2024 г. в 11:05

Средствами векторной алгебры вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках М1 , М 2 , М3 , М 4 и его высоту, опущенную из вершины М 4 на грань М1 М2 М3. М1(1;–1;2) М2 (2;1;2) М3 (1; 1;4) М4 (6;3;8)

Удачник66

5 ноября 2024 г. в 11:49

★

М1(1; –1; 2); М2(2; 1; 2); М3(1; 1; 4); М4(6; 3; 8)
Объём тетраэдра по его вершинам можно вычислить через определитель:
$V = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} x4-x1 & y4-y1 & z4-z1 \\ x4-x2 & y4-y2 & z4-z2 \\ x4-x3 & y4-y3 & z4-z3 \\ \end{vmatrix} =$
$=\frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} 6-1 & 3+1 & 8-2 \\ 6-2 & 3-1 & 8-2 \\ 6-1 & 3-1 & 8-4 \\ \end{vmatrix} = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 2 & 4 \\ \end{vmatrix} =$
= 1/6·(5·2·4 + 6·2·4 + 5·4·6 – 6·2·5 – 4·4·4 – 5·2·6) =
= 1/6·(40 + 48 + 120 – 60 – 64 – 60) = 1/6·24 = 4
V(M1M2M3M4) = 4
Чтобы найти высоту из точки M4 на основание (M1M2M3), сначала построим уравнение плоскости M1M2M3 по трём точкам через определитель:
$\begin{vmatrix} x-x1 & y-y1 & z-z1 \\ x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 \\ x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 \\ \end{vmatrix} = 0$
Подставляем:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-2 \\ 2-1 & 1+1 & 2-2 \\ 1-1 & 1+1 & 4-2 \\ \end{vmatrix} = 0$
Вычисляем:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{vmatrix} = 0$
Решаем этот определитель:
(x – 1)·2·2 + (y + 1)·0·0 + (z – 2)·1·2 – (x – 1)·0·2 – (y + 1)·1·2 – (z – 2)·2·0 = 0
4(x – 1) + 0 + 2(z – 2) – 0 – 2(y + 1) – 0 = 0
4x – 4 + 2z – 4 – 2y – 2 = 0
4x – 2y + 2z – 10 = 0
Можно разделить всё уравнение на 2:
(M1M2M3): 2x – y + z – 5 = 0
Высота тетраэдра – это расстояние от точки M4(6; 3; 8) до плоскости (M1M2M3):
A = 2; B = –1; C = 1; D = –5; x0 = 6; y0 = 3; z0 = 8
$H = \frac{Ax0 + By0 + Cz0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{2 \cdot 6 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 8 - 5}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} =$
$= \frac{12 - 3 + 8 - 5}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$
H = 2√6

Ответ: V(M1M2M3M4) = 4; H = 2√6