Задача 78654 Средствами векторной алгебры вычислить...
Условие
Средствами векторной алгебры вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках М1 , М 2 , М3 , М 4 и его высоту, опущенную из вершины М 4 на грань М1 М2 М3. М1(1;–1;2) М2 (2;1;2) М3 (1; 1;4) М4 (6;3;8)
Решение
Объём тетраэдра по его вершинам можно вычислить через определитель:
[m]V = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
x4-x1 & y4-y1 & z4-z1 \\
x4-x2 & y4-y2 & z4-z2 \\
x4-x3 & y4-y3 & z4-z3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
[m]=\frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
6-1 & 3+1 & 8-2 \\
6-2 & 3-1 & 8-2 \\
6-1 & 3-1 & 8-4 \\
\end{vmatrix} = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
5 & 4 & 6 \\
4 & 2 & 6 \\
5 & 2 & 4 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1/6*(5*2*4 + 6*2*4 + 5*4*6 - 6*2*5 - 4*4*4 - 5*2*6) =
= 1/6*(40 + 48 + 120 - 60 - 64 - 60) = 1/6*24 = 4
[b]V(M1M2M3M4) = 4[/b]
Чтобы найти высоту из точки M4 на основание (M1M2M3), сначала построим уравнение плоскости M1M2M3 по трём точкам через определитель:
[m]\begin{vmatrix}
x-x1 & y-y1 & z-z1 \\
x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 \\
x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Подставляем:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y+1 & z-2 \\
2-1 & 1+1 & 2-2 \\
1-1 & 1+1 & 4-2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Вычисляем:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y+1 & z-2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Решаем этот определитель:
(x - 1)*2*2 + (y + 1)*0*0 + (z - 2)*1*2 - (x - 1)*0*2 - (y + 1)*1*2 - (z - 2)*2*0 = 0
4(x - 1) + 0 + 2(z - 2) - 0 - 2(y + 1) - 0 = 0
4x - 4 + 2z - 4 - 2y - 2 = 0
4x - 2y + 2z - 10 = 0
Можно разделить всё уравнение на 2:
[b](M1M2M3): 2x - y + z - 5 = 0[/b]
Высота тетраэдра - это расстояние от точки M4(6; 3; 8) до плоскости (M1M2M3):
A = 2; B = -1; C = 1; D = -5; x0 = 6; y0 = 3; z0 = 8
[m]H = \frac{Ax0 + By0 + Cz0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{2 \cdot 6 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 8 - 5}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = [/m]
[m] = \frac{12 - 3 + 8 - 5}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}[/m]
[b]H = 2sqrt(6)[/b]
Ответ: V(M1M2M3M4) = 4; H = 2sqrt(6)