Задача 78651 Провести полное исследование функций и...

00792

5 ноября 2024 г. в 09:06

Провести полное исследование функций и построить их графики \ 2 . ‚ — °г ОНЕ | – « —_— \S e 2 \

Удачник66

5 ноября 2024 г. в 11:12

★

$y = \frac{-2x^2+1}{x^2}$
1) Область определения: x ≠ 0
D(Y) = (–oo; 0) U (0; +oo)

2) Разрывы: при x = 0 – неустранимый разрыв 2 рода.

3) Чётность: чётная функция.

4) Периодичность: непериодическая функция

5) Промежутки знакопостоянства:
$\frac{-2x^2+1}{x^2} >= 0$
$-2 + \frac{1}{x^2} >= 0$
$\frac{1}{x^2} >= 2$
$x^2 <= \frac{1}{2}$
$|x| <= \frac{1}{\sqrt{2}}$
y >= 0 при x ∈ [–1/√2; 0) U (0; 1/√2]
y < 0 при x ∈ (–oo; –1/√2) U (1/√2; +oo)

6) Критические точки, в которых y' = 0
$y' = (\frac{-2x^2+1}{x^2})' = \frac{-4x \cdot x^2 - (-2x^2+1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-4x^3 +2x^2 \cdot 2x - 2x}{x^4} = \frac{-4x^3 +4x^3-2x}{x^4} = \frac{-2}{x^3}$
–2/x³ = 0
Это уравнение корней не имеет, значит, критических точек нет.

7) Промежутки возрастания и убывания.
y' = –2/x³
При x < 0 будет y' > 0 – функция возрастает.
При x > 0 будет y' < 0 – функция убывает.

8) Точки перегиба, в которых y'' = 0 и выпуклость.
$y'' = (\frac{-2}{x^3})' = (-2x^{-3})' = (-2)(-3)x^{-4} = \frac{6}{x^4}$
Эта дробь положительна при любом x ≠ 0.
Значит, точек перегиба нет, функция всюду выпуклая вниз (вогнутая).

9) Асимптоты.
Вертикальная асимптота: x = 0
Наклонная или горизонтальная асимптота: f(x) = kx + b
$k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2x^2+1}{x^3}= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2/x+1/x^3}{1} = -0 + 0 = 0$
$b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2x^2+1}{x^2} - 0 = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2+1/x^2}{1} = -2$
Наклонная асимптота – горизонтальная f(x) = –2

10) График прилагается.
Вертикальная асимптота x = 0 и так понятна.
Горизонтальная асимптота f(x) = –2 показана зеленым цветом.