Задача 78651 Провести полное исследование функций и...
Условие
Решение
1) Область определения: x ≠ 0
D(Y) = (-oo; 0) U (0; +oo)
2) Разрывы: при x = 0 - неустранимый разрыв 2 рода.
3) Чётность: чётная функция.
4) Периодичность: непериодическая функция
5) Промежутки знакопостоянства:
[m]\frac{-2x^2+1}{x^2} >= 0[/m]
[m]-2 + \frac{1}{x^2} >= 0[/m]
[m] \frac{1}{x^2} >= 2[/m]
[m]x^2 <= \frac{1}{2}[/m]
[m]|x| <= \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
y >= 0 при x ∈ [-1/sqrt(2); 0) U (0; 1/sqrt(2)]
y < 0 при x ∈ (-oo; -1/sqrt(2)) U (1/sqrt(2); +oo)
6) Критические точки, в которых y' = 0
[m]y' = (\frac{-2x^2+1}{x^2})' = \frac{-4x \cdot x^2 - (-2x^2+1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-4x^3 +2x^2 \cdot 2x - 2x}{x^4} = \frac{-4x^3 +4x^3-2x}{x^4} = \frac{-2}{x^3}[/m]
-2/x^3 = 0
Это уравнение корней не имеет, значит, критических точек нет.
7) Промежутки возрастания и убывания.
y' = -2/x^3
При x < 0 будет y' > 0 - функция возрастает.
При x > 0 будет y' < 0 - функция убывает.
8) Точки перегиба, в которых y'' = 0 и выпуклость.
[m]y'' = (\frac{-2}{x^3})' = (-2x^{-3})' = (-2)(-3)x^{-4} = \frac{6}{x^4}[/m]
Эта дробь положительна при любом x ≠ 0.
Значит, точек перегиба нет, функция всюду выпуклая вниз (вогнутая).
9) Асимптоты.
Вертикальная асимптота: x = 0
Наклонная или горизонтальная асимптота: f(x) = kx + b
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2x^2+1}{x^3}= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2/x+1/x^3}{1} = -0 + 0 = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2x^2+1}{x^2} - 0 = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-2+1/x^2}{1} = -2[/m]
Наклонная асимптота - горизонтальная f(x) = -2
10) График прилагается.
Вертикальная асимптота x = 0 и так понятна.
Горизонтальная асимптота f(x) = -2 показана зеленым цветом.