Задача 78648 Даны две противоположные вершины...

Влад_522901106

5 ноября 2024 г. в 02:48

Даны две противоположные вершины квадрата А(–2; –3) и B(6; 5). Составить уравнения его диагоналей

admin

5 ноября 2024 г. в 08:32

★

1. Поиск центра квадрата (точка пересечения диагоналей):

Центр квадрата находится в середине отрезка, соединяющего точки A и B. Его координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин A и B.

$x_{\text{центра}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_{\text{центра}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, центр квадрата $(2, 1)$.

2. Находим уравнение первой диагонали (AB):

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, используя формулу для наклона и уравнение прямой.

Наклон (угловой коэффициент) диагонали AB:
$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - (-3)}{6 - (-2)} = \frac{5 + 3}{6 + 2} = \frac{8}{8} = 1$

Уравнение прямой в общем виде:
$y - y_1 = m(x - x_1)$

Подставим точку A(–2, –3) и наклон m = 1:
$y + 3 = 1(x + 2)$
$y + 3 = x + 2$
$y = x - 1$

3. Уравнение второй диагонали (перпендикулярной AB):

Для второй диагонали используем тот факт, что она перпендикулярна первой и проходит через центр квадрата $(2, 1)$.

Наклон перпендикулярной прямой: $m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -1$.

Подставим центр квадрата и наклон $m_{\perp} = -1$ в уравнение прямой:
$y - 1 = -1(x - 2)$
$y - 1 = -x + 2$
$y = -x + 3$

Ответ:

Уравнения диагоналей квадрата:
1. Первая диагональ (AB): $y = x - 1$
2. Вторая диагональ (перпендикулярная AB): $y = -x + 3$