Задача 78646 решить неравенства ...
Условие
Решение
Заметим, что функции [m]2^{x}[/m] и [m]5^{x}[/m] - обе возрастающие, поэтому:
[m]2^{x+2} < 2^{x+3} < 2^{x+4}[/m] и [m]5^{x+1} < 5^{x+2}[/m]
Поэтому можно поменять знаки, чтобы выражения стали положительными:
[m]2^{x+4} + 2^{x+3} - 2^{x+2} < 5^{x+2} - 5^{x+1}[/m]
[m]2^{4} \cdot 2^{x} + 2^{3} \cdot 2^{x} - 2^{2} \cdot 2^{x} < 5^{2} \cdot 5^{x} - 5 \cdot 5^{x}[/m]
[m]2^{x} \cdot (16 + 8 - 4) < 5^{x} \cdot (25 - 5)[/m]
[m]2^{x} \cdot 20 < 5^{x} \cdot 20[/m]
Делим всё неравенство на 20 > 0, поэтому знак неравенства сохраняется:
[m]2^{x} < 5^{x}[/m]
Делим всё неравенство на 2^(x) > 0, поэтому знак неравенства сохраняется:
[m]1 < \frac{5^{x}}{2^{x}}[/m]
[m](\frac{5}{2})^{x} > 1[/m]
[m](\frac{5}{2})^{x} > (\frac{5}{2})^{0}[/m]
Так как 5/2 > 1, то при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:
x > 0
Ответ: x ∈ (0; +oo)