Задача 78645 решить систему уравнений ...
Условие
Решение
{ x*sqrt(y) + y*sqrt(x) = 30
Перепишем 2 уравнение так:
{ sqrt(x) + sqrt(y) = 5
{ (sqrt(x))^2*sqrt(y) + (sqrt(y))^2*sqrt(x) = 30
Во 2 уравнении вынесем за скобки sqrt(x)*sqrt(y)
{ sqrt(x) + sqrt(y) = 5
{ sqrt(x)*sqrt(y)*(sqrt(x) + sqrt(y)) = 30
Подставим 1 уравнение во 2 уравнение:
{ sqrt(x) + sqrt(y) = 5
{ sqrt(x)*sqrt(y)*5 = 30
Делим 2 уравнение на 5 слева и справа:
{ sqrt(x) + sqrt(y) = 5
{ sqrt(x)*sqrt(y) = 6
Перепишем 1 уравнение так:
{ sqrt(y) = 5 - sqrt(x)
{ sqrt(x)*sqrt(y) = 6
Подставим sqrt(y) из 1 уравнения во 2 уравнение:
sqrt(x)*(5 - sqrt(x)) = 6
5*sqrt(x) - (sqrt(x))^2 = 6
Сделаем замену: t = sqrt(x):
5t - t^2 = 6
Переносим всё направо, чтобы t^2 был с плюсом:
0 = 6 + t^2 - 5t
Перепишем более привычно:
t^2 - 5t + 6 = 0
Получили элементарное квадратное уравнение:
(t - 2)(t - 3) = 0
t1 = 2; t2 = 3
Обратная замена:
1) sqrt(x) = 2
x1 = 4
Подставляем в sqrt(y):
sqrt(y) = 5 - sqrt(x) = 5 - 2 = 3
y1 = 9
2) sqrt(x) = 3
x2 = 9
Подставляем в sqrt(y):
sqrt(y) = 5 - sqrt(x) = 5 - 3 = 2
y2 = 4
Ответ: (4; 9); (9; 4)