Задача 78644 решить уравнение ...

66f286c87e3eee7b6aef8ece

4 ноября 2024 г. в 03:33

решить уравнение

Удачник66

4 ноября 2024 г. в 07:33

★

1 уравнение. (x² + 2x)² – 11(x + 1)² + 35 = 0
Здесь можно только раскрыть скобки, больше ничего не сделаешь:
x⁴ + 2·x²·2x + (2x)² – 11(x² + 2x + 1) + 35 = 0
x⁴ + 4x³ + 4x² – 11x² – 22x – 11 + 35 = 0
x⁴ + 4x³ – 7x² – 22x + 24 = 0
Если сложить коэффициенты, то мы получим:
1 + 4 – 7 – 22 + 24 = 29 – 29 = 0
Это значит, что один из корней равен 1.
Разложим это уравнение так:
x⁴ – x³ + 5x³ – 5x² – 2x² + 2x – 24x + 24 = 0
(x – 1)(x³ + 5x² – 2x – 24) = 0
x1 = 1

x³ + 5x² – 2x – 24 = 0
Подбором легко выяснить, что это уравнение имеет корень 2:
8 + 5·4 – 2·2 – 24 = 28 – 28 = 0
Разложим это уравнение так:
x³ – 2x² + 7x² – 14x + 12x – 24 = 0
(x – 2)(x² + 7x + 12) = 0
x2 = 2

Осталось решить элементарное квадратное уравнение:
x² + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x3 = –3; x4 = –4

Ответ: 1; 2; –3; –4

2 уравнение. |2x + 1| – |3 – x| = |x – 4|
Имеем три особые точки, в которых модули равны 0:
a1 = –1/2; a2 = 3; a3 = 4
Они делят числовую прямую на 4 промежутка:
1) x ∈ (–oo; –1/2). При этом |2x + 1| = –2x – 1; |3 – x| = 3 – x; |x – 4| = 4 – x
–2x – 1 – (3 – x) = 4 – x
–2x – 1 – 3 + x = 4 – x
–x – 4 = 4 – x
Прибавляем x слева и справа:
–4 = 4
Это неверно, поэтому в этом варианте решений нет.

2) x ∈ [–1/2; 3). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 – x| = 3 – x; |x – 4| = 4 – x
2x + 1 – (3 – x) = 4 – x
2x + 1 – 3 + x = 4 – x
3x – 2 = 4 – x
4x = 6
x = 6/4 = 3/2 ∈ [–1/2; 3) – это решение.
x1 = 3/2

3) x ∈ [3; 4). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 – x| = x – 3; |x – 4| = 4 – x
2x + 1 – (x – 3) = 4 – x
2x + 1 – x + 3 = 4 – x
x + 4 = 4 – x
x + x = 4 – 4
x = 0 ∉ [3; 4) – это НЕ решение.

4) x ∈ [4; +oo). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 – x| = x – 3; |x – 4| = x – 4
2x + 1 – (x – 3) = x – 4
2x + 1 – x + 3 = x – 4
x + 4 = x – 4
Вычитаем x слева и справа:
4 = –4
Это неверно, поэтому в этом варианте решений нет.

Ответ: 3/2

3 уравнение. lg² (100x) + lg² (10x) = 14 + lg (1/x)
Заметим, что:
lg (100x) = lg 100 + lg x = 2 + lg x
lg (10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x
lg (1/x) = –lg x
Подставляем всё это в уравнение:
(2 + lg x)² + (1 + lg x)² = 14 – lg x
lg² x + 4·lg x + 4 + lg² x + 2·lg x + 1 – 14 + lg x = 0
2·lg² x + 7·lg x – 9 = 0
Делаем замену: y = lg x, получаем квадратное уравнение:
2y² + 7y – 9 = 0
Если сложить коэффициенты, то мы получим:
2 + 7 – 9 = 0
Это значит, что один из корней равен 1.
(y – 1)(2y + 9) = 0
y1 = 1; y2 = –9/2
Обратная замена:
lg x = 1
x1 = 10
lg x = –9/2
x2 = 10^–9/2
Второе можно преобразовать, но можно и оставить так.
[m]\Large 10^{-9/2} = \frac{1}{10^{9/2}} = \frac{1}{\sqrt{10^9}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10^{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{10^5} = \frac{\sqrt{10}}{100000}[/m]
Какой вариант выбрать – решайте сами. На мой взгляд, красивее выглядит:
x2 = 10^–9/2

Ответ: 10; 10^–9/2