Задача 78644 решить уравнение ...
Условие
Решение
Здесь можно только раскрыть скобки, больше ничего не сделаешь:
x^4 + 2*x^2*2x + (2x)^2 - 11(x^2 + 2x + 1) + 35 = 0
x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 11x^2 - 22x - 11 + 35 = 0
x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 22x + 24 = 0
Если сложить коэффициенты, то мы получим:
1 + 4 - 7 - 22 + 24 = 29 - 29 = 0
Это значит, что один из корней равен 1.
Разложим это уравнение так:
x^4 - x^3 + 5x^3 - 5x^2 - 2x^2 + 2x - 24x + 24 = 0
(x - 1)(x^3 + 5x^2 - 2x - 24) = 0
[b]x1 = 1[/b]
x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0
Подбором легко выяснить, что это уравнение имеет корень 2:
8 + 5*4 - 2*2 - 24 = 28 - 28 = 0
Разложим это уравнение так:
x^3 - 2x^2 + 7x^2 - 14x + 12x - 24 = 0
(x - 2)(x^2 + 7x + 12) = 0
[b]x2 = 2[/b]
Осталось решить элементарное квадратное уравнение:
x^2 + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
[b]x3 = -3; x4 = -4[/b]
Ответ: 1; 2; -3; -4
2 уравнение. |2x + 1| - |3 - x| = |x - 4|
Имеем три особые точки, в которых модули равны 0:
a1 = -1/2; a2 = 3; a3 = 4
Они делят числовую прямую на 4 промежутка:
1) x ∈ (-oo; -1/2). При этом |2x + 1| = -2x - 1; |3 - x| = 3 - x; |x - 4| = 4 - x
-2x - 1 - (3 - x) = 4 - x
-2x - 1 - 3 + x = 4 - x
-x - 4 = 4 - x
Прибавляем x слева и справа:
-4 = 4
Это неверно, поэтому в этом варианте решений нет.
2) x ∈ [-1/2; 3). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 - x| = 3 - x; |x - 4| = 4 - x
2x + 1 - (3 - x) = 4 - x
2x + 1 - 3 + x = 4 - x
3x - 2 = 4 - x
4x = 6
x = 6/4 = 3/2 ∈ [-1/2; 3) - это решение.
[b]x1 = 3/2[/b]
3) x ∈ [3; 4). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 - x| = x - 3; |x - 4| = 4 - x
2x + 1 - (x - 3) = 4 - x
2x + 1 - x + 3 = 4 - x
x + 4 = 4 - x
x + x = 4 - 4
x = 0 ∉ [3; 4) - это НЕ решение.
4) x ∈ [4; +oo). При этом |2x + 1| = 2x + 1; |3 - x| = x - 3; |x - 4| = x - 4
2x + 1 - (x - 3) = x - 4
2x + 1 - x + 3 = x - 4
x + 4 = x - 4
Вычитаем x слева и справа:
4 = -4
Это неверно, поэтому в этом варианте решений нет.
Ответ: 3/2
3 уравнение. lg^2 (100x) + lg^2 (10x) = 14 + lg (1/x)
Заметим, что:
lg (100x) = lg 100 + lg x = 2 + lg x
lg (10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x
lg (1/x) = -lg x
Подставляем всё это в уравнение:
(2 + lg x)^2 + (1 + lg x)^2 = 14 - lg x
lg^2 x + 4*lg x + 4 + lg^2 x + 2*lg x + 1 - 14 + lg x = 0
2*lg^2 x + 7*lg x - 9 = 0
Делаем замену: y = lg x, получаем квадратное уравнение:
2y^2 + 7y - 9 = 0
Если сложить коэффициенты, то мы получим:
2 + 7 - 9 = 0
Это значит, что один из корней равен 1.
(y - 1)(2y + 9) = 0
y1 = 1; y2 = -9/2
Обратная замена:
lg x = 1
[b]x1 = 10[/b]
lg x = -9/2
[b]x2 = 10^(-9/2)[/b]
Второе можно преобразовать, но можно и оставить так.
[m]\Large 10^{-9/2} = \frac{1}{10^{9/2}} = \frac{1}{\sqrt{10^9}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10^{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{10^5} = \frac{\sqrt{10}}{100000}[/m]
Какой вариант выбрать - решайте сами. На мой взгляд, красивее выглядит:
[b]x2 = 10^(-9/2)[/b]
Ответ: 10; 10^(-9/2)