Задача 78640 Потрібно на завтра до 13:00...
Условие
Потрібно на завтра до 13:00
Решение
(→x, →y) = 3x1y1 + 4x2y2
скалярним добутком векторів →x = (x1, x2) і →y = (y1, y2) у просторі R², необхідно перевірити виконання наступних властивостей:
### 1. Комутативність
(→x, →y) = 3x1y1 + 4x2y2
(→y, →x) = 3y1x1 + 4y2x2
Перевірка:
3x1y1 + 4x2y2 = 3y1x1 + 4y2x2 (виконується, оскільки множення комутативне).
### 2. Лінійність за першим аргументом
Для будь-якого скаляра c і вектора →z = (z1, z2):
(c→x + →z, →y) = (c(x1, x2) + (z1, z2), (y1, y2))
= (cx1 + z1, cx2 + z2), (y1, y2)
= 3(cx1 + z1)y1 + 4(cx2 + z2)y2
= 3c x1y1 + 4cx2y2 + 3z1y1 + 4z2y2
= c(3x1y1 + 4x2y2) + (3z1y1 + 4z2y2) (виконується).
### 3. Позитивна визначеність
(→x, →x) = 3x1² + 4x2²
Перевірка:
3x1² + 4x2² > 0 для всіх ненульових векторів →x.
- Якщо x = (0, y), то (→x, →x) = 4y² > 0 при y ≠ 0.
- Якщо x = (x, 0), то (→x, →x) = 3x² > 0 при x ≠ 0.
### Висновок
Усі три властивості скалярного добутку виконуються.
Отже, вираження (→x, →y) = 3x1y1 + 4x2y2 є скалярним добутком векторів у просторі R².