Задача 78639 Потрібно на завтра до 13:00...
Условие
Потрібно на завтра до 13:00
Решение
## Крок 1: Запишемо вектори
Маємо вектори:
e1 = (1, -4)
e2 = (12, 3)
e1' = (1, -1)
e2' = (2, 1)
## Крок 2: Сформуємо матрицю базисів
Сформуємо матриці для обох базисів. Нехай матриця E — це матриця, що складається з векторів бази {e1, e2}, а матриця E' — з векторів бази {e1', e2'}:
E = (1 12)
(-4 3)
E' = (1 2)
(-1 1)
## Крок 3: Знайдемо обернену матрицю E'
Щоб знайти координати векторів старої бази у новій базі, потрібно обчислити обернену матрицю E':
E'^(-1) = 1/det(E') * adj(E'),
де det(E') = 1 * 1 - (-1) * 2 = 3.
Обернена матриця буде виглядати так:
E'^(-1) = 1/3 * (1 -2)
(1 1) =
(1/3 -2/3)
(1/3 1/3)
## Крок 4: Знайдемо координати векторів у новій базі
Тепер можемо знайти координати векторів з бази E у базі E':
### Для вектора e1:
[e1]E' = E'^(-1) * e1 =
(1/3 -2/3) * (1) =
(1/3 1/3) (-4)
(1/3 - (-4) * 2/3) =
(1/3 + (-4) * 1/3)
(1 + 8)/3 =
(-3)/3
(3) =
(-1)
### Для вектора e2:
Аналогічно:
[e2]E' = E'^(-1) * e2 =
(1/3 -2/3) * (12) =
(1/3 1/3) (3)
(4 - 2) =
(4 + 1)
(2) =
(5)
## Висновок
Отже, координати векторів з бази E = {e1, e2} у новій базі E' = {e1', e2'} виглядають так:
- Для вектора e1: [e1]E' = (3, -1)
- Для вектора e2: [e2]E' = (2, 5)