Задача 78616 Существуют ли множество A B X такие что...
Условие
Решение
Остальные делаются аналогично.
1) не A = X \ B = B \ X = ∅ ; B ≠ ∅
Запись "X \ B" означает множество элементов, которые входят в множество X, но не входят в множество B.
Если это множество - пустое, значит, все элементы множества X входят в B.
Это значит, что множество X находится внутри множества B.
Но множество B \ X тоже равно пустому множеству.
Это значит, что множество B находится внутри множества X.
А так как это происходит одновременно, значит, они совпадают:
B = X ≠ ∅
Запись "не A = ∅" означает, что:
A ≠ ∅
То есть A - это какое-то непустое множество, которое никак не пересекается с множествами B и X.
Ответ: Такое возможно. Например:
B = X = N (натуральные числа), A = I (иррациональные числа).
2) P \ N = не (P ∪ E) = ∅ ; не N ∩ не E ≠ ∅
Запись "P \ N" означает множество элементов, которые входят в множество P, но не входят в множество N.
Если это множество - пустое, значит, все элементы множества P входят в N.
То есть множество P включено в множество N:
P ⊂ N
Запись "не (P ∪ E) = ∅" означает, что объединение множеств P и E - непустое.
Это возможно, если любое из множеств P или E - непустое.
Запись "не N ∩ не E ≠ ∅" можно преобразовать так:
не N ∩ не E = не (N ∪ E) ≠ ∅ (по закону де Моргана)
Отсюда следует:
N ∪ E = ∅
Это означает, что оба множества N и E - пустые.
Итак, что иы получили:
1) Множество P целиком входит в множество N, то есть P внутри N
2) Какое-то из множеств P или E, или оба - непустое.
3) Множества N и E - пустые.
Если N = ∅ и P ⊂ N, то P = ∅
Но из 3) пункта множества N = E = ∅.
Значит, все три множества P, N, E - пустые.
Но это противоречит 2) пункту, что P или Е - непустое.
Ответ: такое невозможно.