Задача 78614 ...

Dellock

1 ноября 2024 г. в 06:27

С помощью выделения полного квадрата при–
вести уравнение кривой второго порялка к каноническому виду.
Определить тип кривой. Найти се полуоси, эксцентриситет, ко–
ординаты вершин и фокусов, уравнения директрис и асимптот
(если они имеются), Сделать чертеж.
2x² – 4x– y² – 4y – 6 =0

Удачник66

2 ноября 2024 г. в 10:02

★

2x² – 4x – y² – 4y – 6 = 0
2(x² – 2x) – (y² + 4y) – 6 = 0
Дополняем скобки до полного квадрата и вычитаем таки же числа:
2(x² – 2x + 1 – 1) – (y² + 4y + 4 – 4) – 6 = 0
Сворачиваем квадраты суммы или разности:
2(x – 1)² – 2 – (y + 2)² + 4 – 6 = 0
2(x – 1)² – (y + 2)² = 4
Делим всё на 4:
(x – 1)²/2 – (y + 2)²/4 = 1
Это каноническое уравнение гиперболы.
Её центр (1; –2), полуоси a = √2; b = 2, c = √a²+b² = √2+4 = √6
Эксцентриситет ε = c/a = √6/√2 = √3
Фокусы: F1(1 – √6; –2); F2(1 + √6; –2)
Уравнения директрис: x1 = x0 – a/ε; x2 = x0 + a/ε
x1 = 1 – √2/√3 = 1 – √6/3 ≈ 0,2; x2 = 1 + √6/3 ≈ 1,8
Уравнения асимптот: y1 = –b/a·x; y2 = b/a·x
y1 = –2/√2·x + y0 = –√2·x – 2; y2 = √2·x – 2
Чертеж прилагается.
Асимптоты показаны зеленым цветом, директрисы синим цветом.