Задача 78610 Методом Лагранжа ...
Условие
Решение
L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λ (g(x1, x2) - c)
где g(x1, x2) = 2x1^2 + x2^2 и c = 6.
Таким образом, получаем:
L(x1, x2, λ) = x1 + x2 + λ (2x1^2 + x2^2 - 6)
2. Находим частные производные и приравниваем их к нулю:
∂L/∂x1 = 1 + λ * 4x1 = 0
∂L/∂x2 = 1 + λ * 2x2 = 0
∂L/∂λ = 2x1^2 + x2^2 - 6 = 0
3. Решаем систему уравнений:
Из первых двух уравнений выразим λ:
λ = -1/(4x1)
λ = -1/(2x2)
Приравняем эти два выражения:
-1/(4x1) = -1/(2x2)
2x2 = 4x1
x2 = 2x1
4. Подставим x2 = 2x1 в ограничение:
2x1^2 + (2x1)^2 = 6
2x1^2 + 4x1^2 = 6
6x1^2 = 6
x1^2 = 1
x1 = 1 или x1 = -1
Соответственно, x2 = 2 или x2 = -2.
5. Получаем точки:
(1, 2)
(-1, -2)
6. Находим значения функции в этих точках:
f(1, 2) = 1 + 2 = 3
f(-1, -2) = -1 - 2 = -3
Таким образом, условные экстремумы функции:
- Максимум: (1, 2) при f = 3
- Минимум: (-1, -2) при f = -3