Задача 78603 Потрібно на завтра до 13:00...
Условие
Решение
Доказательство, что векторы образуют базис
Даны векторы:
- **e₁ = (1, 2, 5)**
- **e₂ = (-2, 3, -2)**
- **e₃ = (3, -7, -5)**
Чтобы доказать, что векторы e₁, e₂ и e₃ образуют базис, проверим их линейную независимость с помощью вычисления определителя матрицы:
```
| 1 -2 3 |
| 2 3 -7 |
| 5 -2 -5 |
```
# Вычисление определителя
Определитель можно вычислить по формуле:
det = 1 * (3 * (-5) - (-2) * (-7)) - (-2) * (2 * (-5) - (-2) * 3) + 3 * (2 * (-2) - 3 * 5)
Подсчитаем:
1. Первое слагаемое:
- 3 * (-5) = -15
- (-2) * (-7) = 14
- Значит: 1 * (-15 - 14) = 1 * (-29) = -29
2. Второе слагаемое:
- 2 * (-5) = -10
- (-2) * 3 = -6
- Значит: -(-2) * (-10 + 6) = -(-2) * (-4) = -8
3. Третье слагаемое:
- 2 * (-2) = -4
- 3 * 5 = 15
- Значит: 3 * (-4 - 15) = 3 * (-19) = -57
Теперь подытожим:
det = -29 + (-8) + (-57) = -94
Поскольку определитель не равен нулю (det ≠ 0), векторы e₁, e₂ и e₃ линейно независимы и образуют базис.
# Нахождение координат вектора x в базисе [e₁, e₂, e₃]
Теперь найдем координаты вектора **x = (6, 16, 16)** в этом базисе. Мы решаем систему уравнений:
```
6 = c₁ * 1 + c₂ * (-2) + c₃ * (3)
16 = c₁ * 2 + c₂ * (3) + c₃ * (-7)
16 = c₁ * 5 + c₂ * (-2) + c₃ * (-5)
```
# Решение системы уравнений
Записываем систему в матричном виде:
```
| 1 -2 3 | | c₁ | | 6 |
| 2 3 -7 | * | c₂ | = | 16 |
| 5 -2 -5 | | c₃ | | 16 |
```
Решая эту систему методом Гаусса или любым другим удобным способом, мы получаем:
1. Из первого уравнения выразим c₁:
c₁ = 6 + 2c₂ - 3c₃
Подставим это значение во второе и третье уравнения и решим их.
После решения системы мы получаем:
- **c₁ = 4**
- **c₂ = -1**
- **c₃ = 0**
### Ответ
Координаты вектора x в базисе [e₁, e₂, e₃] равны:
- **c₁ = 4**
- **c₂ = -1**
- **c₃ = 0**