Задача 78596 Реши задачу...
Условие
Решение
{ 2x - 3y - 7z = 12
{ 2x - 3y - 5z = 10
Метод обратных матриц (матричный метод) - очень объемный, у меня нет времени решать этим методом.
И его вообще надо выносить в отдельный вопрос.
Поэтому я решу методом Гаусса и методом Крамера.
1) Метод Гаусса. Расширенная матрица:
[m]\small \begin{pmatrix}
-1 & 3 & 5 & | & -9 \\
2 & -3 & -7 & | & 12 \\
2 & -3 & -5 & | & 10 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & 5 & | & -9 \\
0 & 3 & 3 & | & -6 \\
0 & 3 & 5 & | & -8 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & 5 & | & -9 \\
0 & 3 & 3 & | & -6 \\
0 & 0 & 2 & | & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе уравнений с новыми коэффициентами:
{ -x + 3y + 5z = -9
{ 0x + 3y + 3z = -6
{ 0x + 0y + 2z = -2
Отсюда сразу: [b]z = -1[/b], подставляем во 2 уравнение:
3y + 3(-1) = -6
3y = -6 + 3 = -3
[b]y = -1[/b]
Подставляем в 1 уравнение:
-x + 3(-1) + 5(-1) = -9
-x - 8 = -9
-x = -9 + 8 = -1
[b]x = 1[/b]
Решение: (1; -1; -1)
2) Метод Крамера.
Главный определитель:
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
-1 & 3 & 5 \\
2 & -3 & -7 \\
2 & -3 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)(-3)(-5) + 2*3(-7) + 5*2(-3) - 5(-3)*2 - (-1)(-3)(-7) - (-5)*3*2 =
= -15 - 42 - 30 + 30 + 21 + 30 = - 57 + 51 = -6
Определители переменных:
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
-9 & 3 & 5 \\
12 & -3 & -7 \\
10 & -3 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-9)(-3)(-5) + 10*3(-7) + 5*12(-3) - 5(-3)*10 - (-9)(-3)(-7) - (-5)*3*12 =
= -135 - 210 - 180 + 150 + 189 + 180 = 15 - 21 = -6
[m]\Delta(y) = \begin{vmatrix}
-1 & -9 & 5 \\
2 & 12 & -7 \\
2 & 10 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)*12(-5) + 2*(-9)(-7) + 5*2*10 - 5*12*2 - (-1)*10(-7) - (-5)(-9)*2 =
= 60 + 126 + 100 - 120 - 70 - 90 = 286 - 280 = 6
[m]\Delta(z) = \begin{vmatrix}
-1 & 3 & -9 \\
2 & -3 & 12 \\
2 & -3 & 10 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)(-3)*10 + 2*3*12 + (-9)*2(-3) - (-9)(-3)*2 - (-1)(-3)*12 - 10*3*2 =
= 30 + 72 + 54 - 54 - 36 - 60 = 102 - 96 = 6
Переменные:
[m]x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{-6}{-6} = 1[/m]
[m]y = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{6}{-6} = -1[/m]
[m]z = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{6}{-6} = -1[/m]
Решение: (1; -1; -1)
Решения двумя методами получились одинаковые, значит, все правильно.