Задача 78594 Q PEIUMM BCE - г \ И ДИВИДУЭП | J— ‚...

Lokong

31 октября 2024 г. в 05:54

Q PEIUMM BCE – г \ И ДИВИДУЭП | J— ‚ Показательны і Вариант1‚5‚ Э17 21025 I 4x2+2x—16 = і 4 Ю 24.3· – 81 =0 3, 3.5·? +5·1! = 200 ^ 4. 23х+2+3 а 23.\'—2 ы 5 ; 23‚г+| аы _₃36 2 ‚ггг'}х 5. 45х +3% _ 20 =–32 : 3 4х–1 4 3x–1 27 Е 7. Зх+| . 22.x+l = ₂0 : 22x 3 3x+2 8 (J11+2J30) +( 11—2\@) =2 9 25081265 – _s 232" 5

Удачник66

31 октября 2024 г. в 02:04

★

1) $4^{x^2+2x-16} = \frac{1}{4}$
$4^{x^2+2x-16} = 4^{-1}$
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
x² + 2x – 16 = –1
x² + 2x – 15 = 0
(x + 5)(x – 3) = 0
x1 = –5; x2 = 3

2) $3^{2x} - 24 \cdot 3^{x} - 81 = 0$
Замена $y = 3^{x} > 0$ при любом значении x.
y² – 24y – 81 = 0
(y – 27)(y + 3) = 0
y = –3 < 0 – не подходит
y = 27 > 0 – подходит
$3^{x} = 27$
$3^{x} = 3^{3}$
x = 3

3) $3 \cdot 5^{x-2} + 5^{x-1} = 200$
$3 \cdot 5^{-2} \cdot 5^{x} + 5^{-1} \cdot 5^{x} = 200$
$5^{x} \cdot (\frac{3}{5^2} + \frac{1}{5}) = 200$
$5^{x} \cdot (\frac{3}{25} + \frac{5}{25}) = 200$
$5^{x} \cdot \frac{8}{25} = 200$
$5^{x} = 200 \cdot \frac{25}{8} = 25 \cdot 8 \cdot \frac{25}{8} = 25^2 = 5^4$
x = 4

4) $2^{3x+2} + 3 \cdot 2^{3x-2} - 5 \cdot 2^{3x+1} = -336$
$2^2 \cdot 2^{3x} + 3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{3x} - 5 \cdot 2 \cdot 2^{3x} = -336$
$2^{3x} \cdot (4 + \frac{3}{4} - 10) = -336$
Приводим числа в скобках к общему знаменателю 4:
$2^{3x} \cdot (\frac{16}{4} + \frac{3}{4} - \frac{40}{4}) = -336$
$2^{3x} \cdot (-\frac{21}{4}) = -336$
Минусы можно убрать:
$2^{3x} \cdot \frac{21}{4} = 336$
$2^{3x} = \frac{336 \cdot 4}{21} = 16 \cdot 4 = 64 = 2^6$
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
3x = 6
x = 2

5) $4^{5x^2 + 3x} - 20 = -32^{x^2 + 3/5 \cdot x}$
$4^{5x^2 + 3x} - 20 = -32^{\frac{1}{5}(5x^2 + 3x)}$
$2^{2(5x^2 + 3x)} - 20 + 2^{5 \cdot \frac{1}{5}(5x^2 + 3x)} = 0$
$2^{2(5x^2 + 3x)} - 20 + 2^{5x^2 + 3x} = 0$
Замена $y = 2^{5x^2 + 3x} > 0$ при любом значении x
y² + y – 20 = 0
(y + 5)(y – 4) = 0
y = –5 < 0 – не подходит
y = 4 > 0 – подходит
$2^{5x^2 + 3x} = 4$
$2^{5x^2 + 3x} = 2^2$
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
5x² + 3x = 2
5x² + 3x – 2 = 0
(x + 1)(5x – 2) = 0
x1 = –1; x2 = 2/5 = 0,4

6) $(\frac{3}{4})^{4x-1}(\frac{4}{3})^{3x-1} = \frac{27}{64}$
Воспользуемся свойством степеней:
$(\frac{a}{b})^{c} = (\frac{b}{a})^{-c}$
Получаем:
$(\frac{3}{4})^{4x-1}(\frac{3}{4})^{1-3x} = \frac{3^3}{4^3}$
Если основания одинаковые, то при умножении степеней показатели складываются:
$(\frac{3}{4})^{4x-1+1-3x} = (\frac{3}{4})^3$
$(\frac{3}{4})^{x} = (\frac{3}{4})^3$
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
x = 3

7) $3^{x+1} + 2^{2x+1} = -20 \cdot 2^{2x} + 3^{x+2}$
$3 \cdot 3^{x} + 2 \cdot 2^{2x} = -20 \cdot 2^{2x} + 3^2 \cdot 3^{x}$
$22 \cdot 2^{2x} = 6 \cdot 3^{x}$
$11 \cdot 4^{x} = 3 \cdot 3^{x}$
$(\frac{4}{3})^{x} = \frac{3}{11}$
$x = \log_{4/3} (\frac{3}{11})$
К сожалению, получился такой непростой и некрасивый ответ.

8) $(\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} + (\sqrt{11-2 \sqrt{30}})^{x} = 22$
Заметим, что:
$(11+2 \sqrt{30})(11-2 \sqrt{30}) = 11^2 - 2^2 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$
Это значит, что: $\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{30}}}$
Замена: $y = (\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x}$, тогда $(\sqrt{11-2 \sqrt{30}})^{x} = \frac{1}{y}$
И при этом $y = (\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} > 0$ при любом значении x.
$y + \frac{1}{y} = 22$
Умножаем всё уравнение на y:
y² – 22y + 1 = 0
D/4 = (–11)² – 1·1 = 121 – 1 = 120
$y1 = 11 - sqrt(120) = 11 - 2sqrt(30)$
$(\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = 11-2 \sqrt{30}$
$(\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = \frac{1}{11+2 \sqrt{30}}$
$(11+2 \sqrt{30})^{x/2} = (11+2 \sqrt{30})^{-1}$
x/2 = –1
x1 = –2

$y2 = 11 + sqrt(120) = 11 + 2sqrt(30)$
$(\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = 11+2 \sqrt{30}$
$(11+2 \sqrt{30})^{x/2} = (11+2 \sqrt{30})^{1}$
x/2 = 1
x2 = 2

9) $25^{\sqrt{x+1} + 1} - 126 \cdot 5^{\sqrt{x+1}} = -5$
$25 \cdot 25^{\sqrt{x+1}} - 126 \cdot 5^{\sqrt{x+1}} + 5 = 0$
Замена $y = 5^{\sqrt{x+1}} > 0$ при любом значении x.
Тогда $25^{\sqrt{x+1}} = y^2$
25y² – 126y + 5 = 0
(y – 5)(25y – 1) = 0
y1 = 5 > 0 – подходит
$5^{\sqrt{x+1}} = 5$
$\sqrt{x+1} = 1$
x + 1 = 1
x1 = 0

y2 = 1/25 > 0 – подходит
$5^{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$
$\sqrt{x+1} = -2$
Слева арифметический квадратный корень, он не может быть равен отрицательному числу. Поэтому в этом варианте решений нет.
Ответ: x = 0

10) Видно не целиком, не могу решить.