Задача 78594 Q PEIUMM BCE - г \ И ДИВИДУЭП | J— ‚...
Условие
Решение
[m]4^{x^2+2x-16} = 4^{-1}[/m]
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
x^2 + 2x - 16 = -1
x^2 + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0
[b]x1 = -5; x2 = 3[/b]
2) [m]3^{2x} - 24 \cdot 3^{x} - 81 = 0[/m]
Замена [m]y = 3^{x} > 0[/m] при любом значении x.
y^2 - 24y - 81 = 0
(y - 27)(y + 3) = 0
y = -3 < 0 - не подходит
y = 27 > 0 - подходит
[m]3^{x} = 27[/m]
[m]3^{x} = 3^{3}[/m]
[b]x = 3[/b]
3) [m]3 \cdot 5^{x-2} + 5^{x-1} = 200[/m]
[m]3 \cdot 5^{-2} \cdot 5^{x} + 5^{-1} \cdot 5^{x} = 200[/m]
[m]5^{x} \cdot (\frac{3}{5^2} + \frac{1}{5}) = 200[/m]
[m]5^{x} \cdot (\frac{3}{25} + \frac{5}{25}) = 200[/m]
[m]5^{x} \cdot \frac{8}{25} = 200[/m]
[m]5^{x} = 200 \cdot \frac{25}{8} = 25 \cdot 8 \cdot \frac{25}{8} = 25^2 = 5^4[/m]
[b]x = 4[/b]
4) [m]2^{3x+2} + 3 \cdot 2^{3x-2} - 5 \cdot 2^{3x+1} = -336[/m]
[m]2^2 \cdot 2^{3x} + 3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{3x} - 5 \cdot 2 \cdot 2^{3x} = -336[/m]
[m]2^{3x} \cdot (4 + \frac{3}{4} - 10) = -336[/m]
Приводим числа в скобках к общему знаменателю 4:
[m]2^{3x} \cdot (\frac{16}{4} + \frac{3}{4} - \frac{40}{4}) = -336[/m]
[m]2^{3x} \cdot (-\frac{21}{4}) = -336[/m]
Минусы можно убрать:
[m]2^{3x} \cdot \frac{21}{4} = 336[/m]
[m]2^{3x} = \frac{336 \cdot 4}{21} = 16 \cdot 4 = 64 = 2^6[/m]
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
3x = 6
[b]x = 2[/b]
5) [m]4^{5x^2 + 3x} - 20 = -32^{x^2 + 3/5 \cdot x}[/m]
[m]4^{5x^2 + 3x} - 20 = -32^{\frac{1}{5}(5x^2 + 3x)}[/m]
[m]2^{2(5x^2 + 3x)} - 20 + 2^{5 \cdot \frac{1}{5}(5x^2 + 3x)} = 0[/m]
[m]2^{2(5x^2 + 3x)} - 20 + 2^{5x^2 + 3x} = 0[/m]
Замена [m]y = 2^{5x^2 + 3x} > 0[/m] при любом значении x
y^2 + y - 20 = 0
(y + 5)(y - 4) = 0
y = -5 < 0 - не подходит
y = 4 > 0 - подходит
[m]2^{5x^2 + 3x} = 4[/m]
[m]2^{5x^2 + 3x} = 2^2[/m]
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
5x^2 + 3x = 2
5x^2 + 3x - 2 = 0
(x + 1)(5x - 2) = 0
[b]x1 = -1; x2 = 2/5 = 0,4[/b]
6) [m](\frac{3}{4})^{4x-1}(\frac{4}{3})^{3x-1} = \frac{27}{64}[/m]
Воспользуемся свойством степеней:
[m](\frac{a}{b})^{c} = (\frac{b}{a})^{-c}[/m]
Получаем:
[m](\frac{3}{4})^{4x-1}(\frac{3}{4})^{1-3x} = \frac{3^3}{4^3}[/m]
Если основания одинаковые, то при умножении степеней показатели складываются:
[m](\frac{3}{4})^{4x-1+1-3x} = (\frac{3}{4})^3[/m]
[m](\frac{3}{4})^{x} = (\frac{3}{4})^3[/m]
Так как основания одинаковые и степени равны, то и показатели равны.
[b]x = 3[/b]
7) [m]3^{x+1} + 2^{2x+1} = -20 \cdot 2^{2x} + 3^{x+2}[/m]
[m]3 \cdot 3^{x} + 2 \cdot 2^{2x} = -20 \cdot 2^{2x} + 3^2 \cdot 3^{x}[/m]
[m]22 \cdot 2^{2x} = 6 \cdot 3^{x}[/m]
[m]11 \cdot 4^{x} = 3 \cdot 3^{x}[/m]
[m](\frac{4}{3})^{x} = \frac{3}{11}[/m]
[m]x = \log_{4/3} (\frac{3}{11})[/m]
К сожалению, получился такой непростой и некрасивый ответ.
8) [m](\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} + (\sqrt{11-2 \sqrt{30}})^{x} = 22[/m]
Заметим, что:
[m](11+2 \sqrt{30})(11-2 \sqrt{30}) = 11^2 - 2^2 \cdot 30 = 121 - 120 = 1[/m]
Это значит, что: [m]\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{30}}}[/m]
Замена: [m]y = (\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x}[/m], тогда [m](\sqrt{11-2 \sqrt{30}})^{x} = \frac{1}{y}[/m]
И при этом [m]y = (\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} > 0 [/m] при любом значении x.
[m]y + \frac{1}{y} = 22[/m]
Умножаем всё уравнение на y:
y^2 - 22y + 1 = 0
D/4 = (-11)^2 - 1*1 = 121 - 1 = 120
[m]y1 = 11 - sqrt(120) = 11 - 2sqrt(30)[/m]
[m](\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = 11-2 \sqrt{30}[/m]
[m](\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = \frac{1}{11+2 \sqrt{30}}[/m]
[m](11+2 \sqrt{30})^{x/2} = (11+2 \sqrt{30})^{-1}[/m]
x/2 = -1
[b]x1 = -2[/b]
[m]y2 = 11 + sqrt(120) = 11 + 2sqrt(30)[/m]
[m](\sqrt{11+2 \sqrt{30}})^{x} = 11+2 \sqrt{30}[/m]
[m](11+2 \sqrt{30})^{x/2} = (11+2 \sqrt{30})^{1}[/m]
x/2 = 1
[b]x2 = 2[/b]
9) [m]25^{\sqrt{x+1} + 1} - 126 \cdot 5^{\sqrt{x+1}} = -5[/m]
[m]25 \cdot 25^{\sqrt{x+1}} - 126 \cdot 5^{\sqrt{x+1}} + 5 = 0[/m]
Замена [m]y = 5^{\sqrt{x+1}} > 0 [/m] при любом значении x.
Тогда [m]25^{\sqrt{x+1}} = y^2[/m]
25y^2 - 126y + 5 = 0
(y - 5)(25y - 1) = 0
y1 = 5 > 0 - подходит
[m]5^{\sqrt{x+1}} = 5[/m]
[m]\sqrt{x+1} = 1[/m]
x + 1 = 1
[b]x1 = 0[/b]
y2 = 1/25 > 0 - подходит
[m]5^{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{25} = 5^{-2}[/m]
[m]\sqrt{x+1} = -2[/m]
Слева арифметический квадратный корень, он не может быть равен отрицательному числу. Поэтому в этом варианте решений нет.
Ответ: x = 0
10) Видно не целиком, не могу решить.