Задача 78584 ...

640f425e46b0501c3db980ca

10/29/2024 3:56:34 PM

5. Привести уравнения к каноническому виду и построить кривые:
а) (µ + 1)х2 + (λ + 6)у2 − 2(λµ + λ)х + 2(λµ + 6µ)у +
+ λµ(λ + µ − 6) + λ(λ − 6) + 6µ(µ − 6) - 36 = 0;
б) (λ + 1)х2 − (µ + 1)у2 − 2(λµ + µ)х + 2(λµ + λ)у +
+ λµ(−λ + µ − 4) + λ(λ + 4) + µ(µ − 4) - 4 = 0;
в) у2 + (µ + 1)х + 2λу + λ2 − µ2 − 3µ - 2 = 0;
г) х2 − 2µх − (λ + 1)у − λ2 + µ2 - 3 − 4λ = 0.

67134e05bc8c5879e2b81317

10/29/2024 7:22:51 PM

★

Для того чтобы решить все уравнения полностью, приведем каждое из них к каноническому виду и определим тип кривых. а) Уравнение (μ + 1)x² + (λ + 6)y² - 2(λμ + λ)x + 2(λμ + 6μ)y + λμ(λ + μ - 6) + λ(λ - 6) + 6μ(μ - 6) - 36 = 0 Сначала выделим полный квадрат по x: (μ + 1)[x² - 2(λμ + λ)/(μ + 1) x] + (λ + 6)y² + 2(λμ + 6μ)y + λμ(λ + μ - 6) + λ(λ - 6) + 6μ(μ - 6) - 36 = 0 Для выделения полного квадрата: x² - 2(λμ + λ)/(μ + 1) x = (x - (λμ + λ)/(μ + 1))² - ((λμ + λ)/(μ + 1))² Подставим это в уравнение: (μ + 1)[(x - (λμ + λ)/(μ + 1))² - ((λμ + λ)/(μ + 1))²] + (λ + 6)y² + 2(λμ + 6μ)y + λμ(λ + μ - 6) + λ(λ - 6) + 6μ(μ - 6) - 36 = 0 Аналогично выделяем полный квадрат по y: (λ + 6)[y² + 2(λμ + 6μ)/(λ + 6)y] = (λ + 6)[(y + (λμ + 6μ)/(λ + 6))² - ((λμ + 6μ)/(λ + 6))²] Таким образом уравнение принимает вид: (μ + 1)(x - (λμ + λ)/(μ + 1))² + (λ + 6)(y + (λμ + 6μ)/(λ + 6))² = C где C — константа, определяемая из уравнения.

б) Уравнение (λ + 1)x² - (μ + 1)y² - 2(λμ + μ)x + 2(λμ + λ)y + λμ(-λ + μ - 4) + λ(λ + 4) + μ(μ - 4) - 4 = 0 Выделим полный квадрат по x: (λ + 1)[x² - 2(λμ + μ)/(λ + 1)x] - (μ + 1)y² + 2(λμ + λ)y + C = 0 Преобразуем: (λ + 1)[(x - (λμ + μ)/(λ + 1))² - ((λμ + μ)/(λ + 1))²] - (μ + 1)[y² - 2(λμ + λ)/(μ + 1)y] = C Аналогично выделяем полный квадрат по y: (μ + 1)[(y - (λμ + λ)/(μ + 1))²] Таким образом уравнение принимает вид: (λ + 1)(x - (λμ + μ)/(λ + 1))² - (μ + 1)(y - (λμ + λ)/(μ + 1))² = C Это уравнение описывает гиперболу.

в) Уравнение y² + (μ + 1)x + 2λy + λ² - μ² - 3μ - 2 = 0 Преобразуем его: (y + λ)² - (μ + 1)[(x + 1/(2(μ + 1)))]² = C Это уравнение также описывает гиперболу. г) Уравнение x² - 2μx - (λ + 1)y - λ² + μ² - 3 - 4λ = 0 Выделим полный квадрат: (x - μ)² - (λ + 1)y = C Это уравнение описывает параболу.

Итог
- Уравнение (а) представляет собой эллипс. -
Уравнение (б) представляет собой гиперболу. -
Уравнение (в) также представляет собой гиперболу.
- Уравнение (г) представляет собой параболу. Для построения кривых можно использовать графические средства в зависимости от значений параметров λ и μ.