Задача 78582 ...
Условие
М2(2µ; −2λ; ν + 2); М3(µ + 1; 1 − λ; ν).
Требуется:
а) написать уравнение плоскости G, проходящей через точки
М1, М2, М3; б) найти расстояние d от точки М0 до плоскости G;
в) написать уравнение плоскости G1, проходящей через точку М0 и
параллельной плоскости G
Решение
Задача:
Даны четыре точки:
M0(µ + 1; 1 − λ; ν + 1)
M1(µ; −λ; ν + 1)
M2(2µ; −2λ; ν + 2)
M3(µ + 1; 1 − λ; ν)
Требуется:
a) написать уравнение плоскости G, проходящей через точки M1, M2, M3;
b) найти расстояние d от точки M0 до плоскости G;
c) написать уравнение плоскости G1, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости G;
Решение:
a) Уравнение плоскости G, проходящей через точки M1, M2, M3:
1. Точки:
M1(µ; -λ; ν + 1)
M2(2µ; -2λ; ν + 2)
M3(µ + 1; 1 - λ; ν)
2. Найдём два вектора, лежащих в плоскости:
v1 = M2 - M1 = (2µ - µ, -2λ + λ, (ν + 2) - (ν + 1)) = (µ, -λ, 1)
v2 = M3 - M1 = ((µ + 1) - µ, (1 - λ) - (-λ), ν - (ν + 1)) = (1, 1, -1)
3. Найдём нормальный вектор плоскости G с помощью векторного произведения:
n = v1 × v2
n = | i j k |
| µ -λ 1 |
| 1 1 -1 |
n = ( (-λ)(-1) - (1)(1) , (1)(1) - (µ)(-1), (µ)(1) - (-λ)(1) )
= (λ - 1, µ + 1, µ + λ)
4. Уравнение плоскости G:
(λ - 1)(x - µ) + (µ + 1)(y + λ) + (µ + λ)(z - (ν + 1)) = 0
---
b) Найти расстояние d от точки M0 до плоскости G:
1. Координаты точки M0:
M0(µ + 1, 1 - λ, ν + 1)
2. Формула расстояния:
d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D| / √(A² + B² + C²)
где A = λ - 1, B = µ + 1, C = µ + λ, D = -((λ - 1)µ + (µ + 1)(-λ) + (µ + λ)(ν + 1))
3. Подставим в формулу:
d = |(λ - 1)(µ + 1) + (µ + 1)(1 - λ) + (µ + λ)(ν + 1) + D| / √((λ - 1)² + (µ + 1)² + (µ + λ)²)
---
c) Уравнение плоскости G1, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости G:
1. Уравнение плоскости G1:
Используем нормальный вектор n = (λ - 1, µ + 1, µ + λ) и точку M0(µ + 1, 1 - λ, ν + 1)
(λ - 1)(x - (µ + 1)) + (µ + 1)(y - (1 - λ)) + (µ + λ)(z - (ν + 1)) = 0
```