Задача 78579 Розв'язати СЛАР матричним...

Ekler

28 октября 2024 г. в 09:18

Розв'язати СЛАР матричним методом:

Решить СЛАР матричным методом:

Удачник66

28 октября 2024 г. в 03:16

★

{ x1 + 5x2 – x3 = 3
{ 2x1 + 4x2 – 3x3 = 2
{ 3x1 – x2 – 3x3 = –7
Записываем уравнение в матричной форме:
$A \cdot X = B$,
где: $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ \end{pmatrix};\ \ X = \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ \end{pmatrix};\ \ B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -7 \\ \end{pmatrix}$
Из этого матричного уравнения находим X по формуле:
$X = A^{-1} \cdot B$
Для этого нам надо найти обратную матрицу A^–1:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot A^{T}_{1}$,
где: $|A|$ – определитель матрицы,
$A^{T}_{1}$ – транспонированная матрица алгебраических дополнений

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ \end{vmatrix} =$
= 1·4·(–3) + (–1)·2·(–1) + 3·5·(–3) – (–1)·4·3 – 1(–1)(–3) – (–3)·2·5 =
= –12 + 2 – 45 + 12 – 3 + 30 = –16

Алгебраические дополнения:
$A(1;1) = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \\ \end{vmatrix} = 1(4(-3) - (-1)(-3)) = -12 - 3 = -15$
$A(1;2) = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -3 \\ \end{vmatrix} = -1(2(-3) - 3(-3)) = -(-6+9) = -3$
$A(1;3) = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \\ \end{vmatrix} = 1(2(-1) - 3 \cdot 4) = -2 - 12 = -14$
$A(2;1) = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -1 & -3 \\ \end{vmatrix} = -1(5(-3) - (-1)(-1)) = -(-15 - 1) = 16$
$A(2;2) = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \\ \end{vmatrix} = 1(1(-3) - 3(-1)) = -3 + 3 = 0$
$A(2;3) = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & -1 \\ \end{vmatrix} = -1(1(-1) - 3 \cdot 5) = -(-1 - 15) = 16$
$A(3;1) = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 4 & -3 \\ \end{vmatrix} = 1(5(-3) - 4(-1)) = -15 + 4 = -11$
$A(3;2) = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \\ \end{vmatrix} = -1(1(-3) - 2(-1)) = -(-3 + 2) = 1$
$A(3;3) = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 4 - 2 \cdot 5) = 4 - 10 = -6$

Матрица алгебраических дополнений:
$A_{1} = \begin{pmatrix} -15 & -3 & -14 \\ 16 & 0 & 16 \\ -11 & 1 & -6 \\ \end{pmatrix}$
Транспонированная матрица алгебраических дополнений:
$A^{T}_{1} = \begin{pmatrix} -15 & 16 & -11 \\ -3 & 0 & 1 \\ -14 & 16 & -6 \\ \end{pmatrix}$

Обратная матрица:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot A^{T}_{1} = \frac{1}{-16} \cdot \begin{pmatrix} -15 & 16 & -11 \\ -3 & 0 & 1 \\ -14 & 16 & -6 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/16 & -1 & 11/16 \\ 3/16 & 0 & -1/16 \\ 14/16 & -1 & 6/16 \\ \end{pmatrix}$

Матрица переменных:
$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 15/16 & -1 & 11/16 \\ 3/16 & 0 & -1/16 \\ 14/16 & -1 & 6/16 \\= \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -7 \\ \end{pmatrix} =$
$= \begin{pmatrix} 15/16 \cdot 3 - 1 \cdot 2 + 11/16 \cdot (-7) \\ 3/16 \cdot 3 + 0 \cdot 2 - 1/16 \cdot (-7) \\ 14/16 \cdot 3 - 1 \cdot 2 + 6/16 \cdot (-7) \\ \end{pmatrix} =$
$= \begin{pmatrix} 45/16 - 32/16 - 77/16 \\ 9/16 + 0 + 7/16 \\ 42/16 - 32/16 - 42/16 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -64/16 \\ 16/16 \\ - 32/16 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ - 2 \\ \end{pmatrix}$

Ответ: x1 = –4; x2 = 1; x3 = –2