Задача 78577 Вычислить объем тела, ограниченного...

Самит_523638574

27 октября 2024 г. в 07:13

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 8 – y², z =2x² + y²

admin

27 октября 2024 г. в 08:56

★

Дано:

Поверхности:
1. $z = 8 - y^2$
2. $z = 2x^2 + y^2$

Необходимо найти объем тела, ограниченного этими поверхностями.

Решение:

Сначала определим область в плоскости xy, в пределах которой одна поверхность выше другой. Для этого решим уравнение $8 - y^2 = 2x^2 + y^2$:

$8 - y^2 = 2x^2 + y^2$
$8 = 2x^2 + 2y^2$
$4 = x^2 + y^2$

Таким образом, область интегрирования в плоскости xy будет круг радиуса 2 с центром в начале координат.

Теперь найдем объем тела с помощью двойного интеграла.

Объем $V$ равен:

$V = \iint_{D} \left( (8 - y^2) - (2x^2 + y^2) \right) \, dx \, dy$

$V = \iint_{D} \left( 8 - y^2 - 2x^2 - y^2 \right) \, dx \, dy$

$V = \iint_{D} \left( 8 - 2x^2 - 2y^2 \right) \, dx \, dy$

Перейдем к полярным координатам, где:
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
Якобиан перехода $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ становится $r^2 = 4$, то есть $r$ изменяется от 0 до 2, а угол $\theta$ изменяется от 0 до $2\pi$.

Интеграл в полярных координатах:

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left(8 - 2r^2 \right) r \, dr \, d\theta$

Сначала решаем внутренний интеграл по $r$:

$\int_{0}^{2} \left(8r - 2r^3 \right) \, dr$

Посчитаем этот интеграл:

$\int \left(8r - 2r^3 \right) \, dr = \left[ 4r^2 - \frac{2r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left[ 4r^2 - \frac{r^4}{2} \right]_{0}^{2}$

Подставим пределы:

$= \left( 4 \times 4 - \frac{16}{2} \right) - \left( 0 \right) = 16 - 8 = 8$

Теперь внешний интеграл по $\theta$:

$V = \int_{0}^{2\pi} 8 \, d\theta = 8\theta \bigg|_{0}^{2\pi} = 8(2\pi) - 8(0) = 16\pi$

Ответ:

Объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен $16\pi$.