Задача 78577 Вычислить объем тела, ограниченного...
Условие
Решение
Поверхности:
1. [m] z = 8 - y^2 [/m]
2. [m] z = 2x^2 + y^2 [/m]
Необходимо найти объем тела, ограниченного этими поверхностями.
Решение:
Сначала определим область в плоскости xy, в пределах которой одна поверхность выше другой. Для этого решим уравнение [m]8 - y^2 = 2x^2 + y^2[/m]:
[m]
8 - y^2 = 2x^2 + y^2
[/m]
[m]
8 = 2x^2 + 2y^2
[/m]
[m]
4 = x^2 + y^2
[/m]
Таким образом, область интегрирования в плоскости xy будет круг радиуса 2 с центром в начале координат.
Теперь найдем объем тела с помощью двойного интеграла.
Объем [m]V[/m] равен:
[m]
V = \iint_{D} \left( (8 - y^2) - (2x^2 + y^2) \right) \, dx \, dy
[/m]
[m]
V = \iint_{D} \left( 8 - y^2 - 2x^2 - y^2 \right) \, dx \, dy
[/m]
[m]
V = \iint_{D} \left( 8 - 2x^2 - 2y^2 \right) \, dx \, dy
[/m]
Перейдем к полярным координатам, где:
[m] x = r \cos \theta [/m]
[m] y = r \sin \theta [/m]
Якобиан перехода [m] dx \, dy = r \, dr \, d\theta [/m]
Уравнение [m] x^2 + y^2 = 4 [/m] становится [m] r^2 = 4 [/m], то есть [m] r [/m] изменяется от 0 до 2, а угол [m]\theta[/m] изменяется от 0 до [m]2\pi[/m].
Интеграл в полярных координатах:
[m]
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left(8 - 2r^2 \right) r \, dr \, d\theta
[/m]
Сначала решаем внутренний интеграл по [m]r[/m]:
[m]
\int_{0}^{2} \left(8r - 2r^3 \right) \, dr
[/m]
Посчитаем этот интеграл:
[m]
\int \left(8r - 2r^3 \right) \, dr = \left[ 4r^2 - \frac{2r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left[ 4r^2 - \frac{r^4}{2} \right]_{0}^{2}
[/m]
Подставим пределы:
[m]
= \left( 4 \times 4 - \frac{16}{2} \right) - \left( 0 \right) = 16 - 8 = 8
[/m]
Теперь внешний интеграл по [m]\theta[/m]:
[m]
V = \int_{0}^{2\pi} 8 \, d\theta = 8\theta \bigg|_{0}^{2\pi} = 8(2\pi) - 8(0) = 16\pi
[/m]
Ответ:
Объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен [m]16\pi[/m].