Задача 78569 Даны координаты точек А, В, С, D в...

6618fb8b4a3be8186eae5c7c

10/25/2024 6:38:41 PM

Даны координаты точек А, В, С, D в правой прямоугольной системе координат.
А (-1; 2; 4)
В (-1; -2; -4)
С (3; 0; -1)
D (7; -3; 1)
Вычислить: а) скалярное произведение вектора АВ на вектор CD; б) площадь треугольника АВС; в) объем тетраэдра ABCD

67134e05bc8c5879e2b81317

10/26/2024 7:42:38 AM

★

Здравствуйте давайте попробуем решить. Погнали!

а) Скалярное произведение вектора AB на вектор CD:

1. Находим координаты векторов AB и CD:
- Вектор AB получается вычитанием координат точки A из координат точки B:
- AB = (-1 - (-1), -2 - 2, -4 - 4) = (0, -4, -8)
- Вектор CD получается вычитанием координат точки C из координат точки D:
- CD = (7 - 3, -3 - 0, 1 - (-1)) = (4, -3, 2)

2. Вычисляем скалярное произведение векторов AB и CD:
- Скалярное произведение это сумма произведений соответствующих координат векторов:
- AB · CD = 0 * 4 + (-4) * (-3) + (-8) * 2 = 0 + 12 - 16 = -4

б) Площадь треугольника ABC:

1. Находим векторы AB и AC:
- Вектор AB мы уже нашли: (0, -4, -8)
- Вектор AC получается вычитанием координат точки A из координат точки C:
- AC = (3 - (-1), 0 - 2, -1 - 4) = (4, -2, -5)

2. Находим векторное произведение векторов AB и AC:
- Векторное произведение это определитель матрицы, составленной из координат векторов и единичных векторов:
- AB × AC = |i j k |
|0 -4 -8|
|4 -2 -5|
- AB × AC = i(-4 * -5 - -8 * -2) - j(0 * -5 - -8 * 4) + k(0 * -2 - -4 * 4)
- AB × AC = i(20 - 16) - j(0 + 32) + k(0 + 16)
- AB × AC = 4i - 32j + 16k
- AB × AC = (4, -32, 16)

3. Найдем модуль векторного произведения:
- Модуль вектора это квадратный корень из суммы квадратов его координат:
- |AB × AC| = √(4^2 + (-32)^2 + 16^2) = √(16 + 1024 + 256) = √1296 = 36

4. Площадь треугольника ABC:
- Площадь треугольника это половина модуля векторного произведения двух его сторон:
- S = 1/2 * 36 = 18

в) Объем тетраэдра ABCD:

1. Вектор AD:
- Вектор AD получается вычитанием координат точки A из координат точки D:
- AD = (7 - (-1), -3 - 2, 1 - 4) = (8, -5, -3)

2. Векторное произведение векторов AC и AD:
- Векторное произведение это определитель матрицы, составленной из координат векторов и единичных векторов:
- AC × AD = |i j k |
|4 -2 -5|
|8 -5 -3|
- AC × AD = i(-2 * -3 - -5 * -5) - j(4 * -3 - -5 * 8) + k(4 * -5 - -2 * 8)
- AC × AD = i(6 - 25) - j(-12 + 40) + k(-20 + 16)
- AC × AD = -19i + 28j - 4k
- AC × AD = (-19, 28, -4)

3. Смешанное произведение векторов AB, AC и AD:
- Смешанное произведение это скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других:
- AB · (AC × AD) = (0, -4, -8) · (-19, 28, -4)
- AB · (AC × AD) = 0 * -19 + (-4) * 28 + (-8) * -4
- AB · (AC × AD) = 0 - 112 + 32 = -80

4. Объем тетраэдра ABCD:
- Объем тетраэдра это одна шестая часть модуля смешанного произведения его трех векторов:
- V = 1/6 * |AB · (AC × AD)| = 1/6 * 80 = 40/3 ≈ 13.33

Вот и всё!