Задача 78569 Даны координаты точек А, В, С, D в...

🤷‍♀️

25 октября 2024 г. в 06:38

Даны координаты точек А, В, С, D в правой прямоугольной системе координат.
А (–1; 2; 4)
В (–1; –2; –4)
С (3; 0; –1)
D (7; –3; 1)
Вычислить: а) скалярное произведение вектора АВ на вектор CD; б) площадь треугольника АВС; в) объем тетраэдра ABCD

Nazar

26 октября 2024 г. в 07:42

★

Здравствуйте давайте попробуем решить. Погнали!

а) Скалярное произведение вектора AB на вектор CD:

1. Находим координаты векторов AB и CD:
– Вектор AB получается вычитанием координат точки A из координат точки B:
– AB = (–1 – (–1), –2 – 2, –4 – 4) = (0, –4, –8)
– Вектор CD получается вычитанием координат точки C из координат точки D:
– CD = (7 – 3, –3 – 0, 1 – (–1)) = (4, –3, 2)

2. Вычисляем скалярное произведение векторов AB и CD:
– Скалярное произведение это сумма произведений соответствующих координат векторов:
– AB · CD = 0 · 4 + (–4) · (–3) + (–8) · 2 = 0 + 12 – 16 = –4

б) Площадь треугольника ABC:

1. Находим векторы AB и AC:
– Вектор AB мы уже нашли: (0, –4, –8)
– Вектор AC получается вычитанием координат точки A из координат точки C:
– AC = (3 – (–1), 0 – 2, –1 – 4) = (4, –2, –5)

2. Находим векторное произведение векторов AB и AC:
– Векторное произведение это определитель матрицы, составленной из координат векторов и единичных векторов:
– AB × AC = |i j k |
|0 –4 –8|
|4 –2 –5|
– AB × AC = i(–4 · –5 – –8 · –2) – j(0 · –5 – –8 · 4) + k(0 · –2 – –4 · 4)
– AB × AC = i(20 – 16) – j(0 + 32) + k(0 + 16)
– AB × AC = 4i – 32j + 16k
– AB × AC = (4, –32, 16)

3. Найдем модуль векторного произведения:
– Модуль вектора это квадратный корень из суммы квадратов его координат:
– |AB × AC| = √(4² + (–32)² + 16²) = √(16 + 1024 + 256) = √1296 = 36

4. Площадь треугольника ABC:
– Площадь треугольника это половина модуля векторного произведения двух его сторон:
– S = 1/2 · 36 = 18

в) Объем тетраэдра ABCD:

1. Вектор AD:
– Вектор AD получается вычитанием координат точки A из координат точки D:
– AD = (7 – (–1), –3 – 2, 1 – 4) = (8, –5, –3)

2. Векторное произведение векторов AC и AD:
– Векторное произведение это определитель матрицы, составленной из координат векторов и единичных векторов:
– AC × AD = |i j k |
|4 –2 –5|
|8 –5 –3|
– AC × AD = i(–2 · –3 – –5 · –5) – j(4 · –3 – –5 · 8) + k(4 · –5 – –2 · 8)
– AC × AD = i(6 – 25) – j(–12 + 40) + k(–20 + 16)
– AC × AD = –19i + 28j – 4k
– AC × AD = (–19, 28, –4)

3. Смешанное произведение векторов AB, AC и AD:
– Смешанное произведение это скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других:
– AB · (AC × AD) = (0, –4, –8) · (–19, 28, –4)
– AB · (AC × AD) = 0 · –19 + (–4) · 28 + (–8) · –4
– AB · (AC × AD) = 0 – 112 + 32 = –80

4. Объем тетраэдра ABCD:
– Объем тетраэдра это одна шестая часть модуля смешанного произведения его трех векторов:
– V = 1/6 · |AB · (AC × AD)| = 1/6 · 80 = 40/3 ≈ 13.33

Вот и всё!