Задача 78555 Докажите, что уравнение ху = 2009 (х +...
Условие
Решение
x*y = 2009x + 2009y
x*y - 2009y = 2009x
y*(x - 2009) = 2009x
[m]y = \frac{2009x}{x-2009}[/m]
Нам нужно, чтобы числитель был кратным знаменателю.
Учитывая, что 2009 = 7*7*41 = 7*287 = 41*49,
можно найти все варианты целых решений:
При x = 2009 + 1 = 2010 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2010}{2010-2009} = \frac{2009 \cdot 2010}{1} =2009 \cdot 2010[/m]
При x = 2009 + 7 = 2016 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2016}{2016-2009} = \frac{2009 \cdot 2016}{7} = 287 \cdot 2016[/m]
При x = 2009 + 41 = 2050 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2050}{2050-2009} = \frac{2009 \cdot 2050}{41} = 49 \cdot 2050[/m]
При x = 2009 + 49 = 2058 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2058}{2058-2009} = \frac{2009 \cdot 2058}{49} = 41 \cdot 2058[/m]
При x = 2009 + 287 = 2296 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2296}{2296-2009} = \frac{2009 \cdot 2296}{287} = 7 \cdot 2296[/m]
При x = 2009 + 2009 = 4018 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 4018}{4018-2009} = \frac{2009 \cdot 4018}{2009} = 4018[/m]
Также можно найти отрицательные целые решения:
При x = 2009 - 1 = 2008 будет:
[m]y = \frac{2009 \cdot 2008}{2008-2009} = \frac{2009 \cdot 2008}{-1} = - 2009 \cdot 2008[/m]
Остальные отрицательные вы можете найти сами.
При x = 2009 - 7 = 2002 будет:
При x = 2009 - 41 = 1968 будет:
При x = 2009 - 49 = 1960 будет:
При x = 2009 - 287 = 1722 будет:
При x = 2009 - 2009 = 0 будет: y = 0