Задача 78542 Решить систему линейных однородных...
Условие
Решение
{ 4·x1 + 3·x2 + 7·x3 + x4 = 0
{ 9·x1 + 7·x2 + 10·x3 + 3·x4 = 0
Однородная система из 3 уравнений и 4 переменных.
Кроме очевидного решения (0; 0; 0; 0) есть ещё решение, которое надо найти.
Система неопределённая, имеет бесконечное множество решений.
Решается только методом Гаусса, больше никак.
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
4 & 3 & 7 & 1 & | & 0 \\
9 & 7 & 10 & 3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
Умножаем 1 строку на –4, а 2 строку на 5 и складываем 1 и 2 строки.
Умножаем 1 строку на –9, а 3 строку на 5 и складываем 1 и 3 строки.
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
2 и 3 строки одинаковые, одну можно убрать:
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
Возвращаемся к системе. Перепишем её с новыми коэффициентами:
{ 5·x1 + 4·x2 + 3·x3 + 2·x4 = 0
{ 0·x1 – x2 + 23·x3 – 3·x4 = 0
Обозначим x3, x4 как базисные переменные, а x1, x2 – свободные.
{ x2 = 23·x3 – 3·x4
{ 5·x1 + 4·(23·x3 – 3·x4) + 3·x3 + 2·x4 = 0
Из 2 уравнения выразим x1:
5·x1 + 92·x3 – 12·x4 + 3·x3 + 2·x4 = 0
5·x1 + 95·x3 – 10·x4 = 0
Делим всё уравнение на 5:
x1 + 19·x3 – 2·x4 = 0
x1 = –19·x3 + 2·x4
Проверка.
Пусть, например, x3 = 1, x4 = 9.
Тогда x1 = –19·1 + 2·9 = –19 + 18 = –1; x2 = 23·1 – 3·9 = 23 – 27 = –4
Подставляем в систему:
{ 5·(–1) + 4·(–4) + 3·1 + 2·9 = –5 – 16 + 3 + 18 = –21 +21 = 0 – верно
{ 4·(–1) + 3·(–4) + 7·1 + 9 = –4 – 12 + 7 + 9 = –16 + 16 = 0 – верно
{ 9·(–1) + 7·(–4) + 10·1 + 3·9 = –9 – 28 + 10 + 27 = – 37 + 37 = 0 – верно
Ответ: (–19·x3 + 2·x4; 23·x3 – 3·x4; x3; x4); x3, x4 ∈ R