Задача 78542 Решить систему линейных однородных...
Условие
Решение
{ 4*x1 + 3*x2 + 7*x3 + x4 = 0
{ 9*x1 + 7*x2 + 10*x3 + 3*x4 = 0
Однородная система из 3 уравнений и 4 переменных.
Кроме очевидного решения (0; 0; 0; 0) есть ещё решение, которое надо найти.
Система неопределённая, имеет бесконечное множество решений.
Решается только методом Гаусса, больше никак.
[m]\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
4 & 3 & 7 & 1 & | & 0 \\
9 & 7 & 10 & 3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -4, а 2 строку на 5 и складываем 1 и 2 строки.
Умножаем 1 строку на -9, а 3 строку на 5 и складываем 1 и 3 строки.
[m]\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 и 3 строки одинаковые, одну можно убрать:
[m]\begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 & 2 & | & 0 \\
0 & -1 & 23 & -3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе. Перепишем её с новыми коэффициентами:
{ 5*x1 + 4*x2 + 3*x3 + 2*x4 = 0
{ 0*x1 - x2 + 23*x3 - 3*x4 = 0
Обозначим x3, x4 как базисные переменные, а x1, x2 - свободные.
{ x2 = 23*x3 - 3*x4
{ 5*x1 + 4*(23*x3 - 3*x4) + 3*x3 + 2*x4 = 0
Из 2 уравнения выразим x1:
5*x1 + 92*x3 - 12*x4 + 3*x3 + 2*x4 = 0
5*x1 + 95*x3 - 10*x4 = 0
Делим всё уравнение на 5:
x1 + 19*x3 - 2*x4 = 0
x1 = -19*x3 + 2*x4
Проверка.
Пусть, например, x3 = 1, x4 = 9.
Тогда x1 = -19*1 + 2*9 = -19 + 18 = -1; x2 = 23*1 - 3*9 = 23 - 27 = -4
Подставляем в систему:
{ 5*(-1) + 4*(-4) + 3*1 + 2*9 = -5 - 16 + 3 + 18 = -21 +21 = 0 - верно
{ 4*(-1) + 3*(-4) + 7*1 + 9 = -4 - 12 + 7 + 9 = -16 + 16 = 0 - верно
{ 9*(-1) + 7*(-4) + 10*1 + 3*9 = -9 - 28 + 10 + 27 = - 37 + 37 = 0 - верно
Ответ: (-19*x3 + 2*x4; 23*x3 - 3*x4; x3; x4); x3, x4 ∈ R