Задача 78539 Вычислить определитель матрицы А двумя...

65a3fb2b925b07716243679a

10/23/2024 9:39:01 AM

Вычислить определитель матрицы А двумя способа–ми: а) используя разложение по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.

626fab9a354ab65fb2f43abb

10/23/2024 11:21:01 AM

★

[m]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
-1 & 4 & 0 & -1 \\
3 & 0 & 0 & -3 \\
4 & -1 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix}[/m]

1 Разложение по строке или столбцу. Возьмем 3 строку.
[m]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
-1 & 4 & 0 & -1 \\
3 & 0 & 0 & -3 \\
4 & -1 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix} = (-1)^{1+3} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 4 & -1 \\
3 & 0 & -3 \\
4 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m]+ (-1)^{2+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 4 \\
3 & 0 & -3 \\
4 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} + (-1)^{3+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 4 \\
-1 & 4 & -1 \\
4 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m] + (-1)^{4+3} \cdot (-3) \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 4 \\
-1 & 4 & -1 \\
3 & 0 & -3 \\
\end{vmatrix}=[/m]
1*3*((-1)*0*1 + (-1)*3(-1) + 4*4*(-3) - (-1)*0*4 - (-1)*(-1)*(-3) - 1*3*4) + 0 + 0 +
+ (-1)*(-3)*(1*4*(-3) + 3*(-1)*(-1) + 4*(-1)*0 - 4*4*3 - 1*(-1)*0 - (-3)*(-1)*(-1)) =
= 3*(0 + 3 - 48 - 0 + 3 - 12) + 3*(-12 + 3 + 0 - 48 - 0 + 3) =
= 3*(-54) + 3*(-54) = -162 - 162 = -324

2. Сведение к треугольной матрице.
[m]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
-1 & 4 & 0 & -1 \\
3 & 0 & 0 & -3 \\
4 & -1 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 3 & -9 & -15 \\
0 & 3 & -15 & -15 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 0 & -12 & -18 \\
0 & 0 & -18 & -18 \\
\end{vmatrix} = [/m]
3 строку умножаем на -1,5 и складываем с 4 строкой:
[m]=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 0 & -12 & -18 \\
0 & 0 & 0 & 9 \\
\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 \cdot (-12) \cdot 9 = -27 \cdot 12 = -324[/m]

Результат получился одинаковый.

Ответ: -324