Задача 78539 Вычислить определитель матрицы А двумя...

Дофаминовая яма

23 октября 2024 г. в 09:39

Вычислить определитель матрицы А двумя способа–ми: а) используя разложение по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.

Удачник66

23 октября 2024 г. в 11:21

★

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & -3 & 1 \\ \end{vmatrix}$

1 Разложение по строке или столбцу. Возьмем 3 строку.
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & -3 & 1 \\ \end{vmatrix} = (-1)^{1+3} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 & -1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} +$
$+ (-1)^{2+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} + (-1)^{3+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & 4 & -1 \\ 4 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} +$
$+ (-1)^{4+3} \cdot (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4 \\ -1 & 4 & -1 \\ 3 & 0 & -3 \\ \end{vmatrix}=$
1·3·((–1)·0·1 + (–1)·3(–1) + 4·4·(–3) – (–1)·0·4 – (–1)·(–1)·(–3) – 1·3·4) + 0 + 0 +
+ (–1)·(–3)·(1·4·(–3) + 3·(–1)·(–1) + 4·(–1)·0 – 4·4·3 – 1·(–1)·0 – (–3)·(–1)·(–1)) =
= 3·(0 + 3 – 48 – 0 + 3 – 12) + 3·(–12 + 3 + 0 – 48 – 0 + 3) =
= 3·(–54) + 3·(–54) = –162 – 162 = –324

2. Сведение к треугольной матрице.
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & -3 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & -9 & -15 \\ 0 & 3 & -15 & -15 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -12 & -18 \\ 0 & 0 & -18 & -18 \\ \end{vmatrix} =$
3 строку умножаем на –1,5 и складываем с 4 строкой:
$=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -12 & -18 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 \cdot (-12) \cdot 9 = -27 \cdot 12 = -324$

Результат получился одинаковый.

Ответ: –324