Задача 78538 Решить систему линейных алгебраических...

Дофаминовая яма

23 октября 2024 г. в 09:37

Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку.

Удачник66

23 октября 2024 г. в 11:38

★

{ 3x + 2y + z = 5
{ 2x + 3y + z = 1
{ 2x + y + 3z = 11
Главный определитель:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{vmatrix} =$
= 3·3·3 + 2·2·1 + 2·1·1 – 1·3·2 – 3·1·1 – 3·2·2 =
= 27 + 4 + 2 – 6 – 3 – 12 = 33 – 21 = 12 ≠ 0
Δ ≠ 0 – Это значит, что система совместная и определенная,
то есть она имеет единственное решение.

Определители переменных:
$\Delta(x) = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 11 & 1 & 3 \\ \end{vmatrix} =$
= 5·3·3 + 11·2·1 + 1·1·1 – 1·3·11 – 5·1·1 – 3·2·1 =
= 45 + 22 + 1 – 33 – 5 – 6 = 68 – 44 = 24

$\Delta(y) = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 11 & 3 \\ \end{vmatrix} =$
= 3·1·3 + 1·2·11 + 2·5·1 – 1·1·2 – 3·1·11 – 3·5·2 =
= 9 + 22 + 10 – 2 – 33 – 30 = 41 – 65 = –24

$\Delta(z) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 11 \\ \end{vmatrix} =$
= 3·3·11 + 5·2·1 + 2·2·1 – 5·3·2 – 11·2·2 – 3·1·1 =
= 99 + 10 + 4 – 30 – 44 – 3 = 113 – 77 = 36

Переменные:
$x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{24}{12} = 2$
$y = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{-24}{12} = -2$
$z = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{36}{12} = 3$

Проверка. Подставляем переменные в систему:
{ 3x + 2y + z = 5
{ 2x + 3y + z = 1
{ 2x + y + 3z = 11
Получаем:
{ 3·2 + 2·(–2) + 3 = 6 – 4 + 3 = 5 – верно
{ 2·2 + 3·(–2) + 3 = 4 – 6 + 3 = 1 – верно
{ 2·2 – 2 + 3·3 = 4 – 2 + 9 = 11 – верно

Ответ: (2; –2; 3)