Задача 78538 Решить систему линейных алгебраических...
Условие
Решение
{ 2x + 3y + z = 1
{ 2x + y + 3z = 11
Главный определитель:
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*3*3 + 2*2*1 + 2*1*1 - 1*3*2 - 3*1*1 - 3*2*2 =
= 27 + 4 + 2 - 6 - 3 - 12 = 33 - 21 = 12 ≠ 0
Δ ≠ 0 - Это значит, что система совместная и определенная,
то есть она имеет единственное решение.
Определители переменных:
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
5 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
11 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 5*3*3 + 11*2*1 + 1*1*1 - 1*3*11 - 5*1*1 - 3*2*1 =
= 45 + 22 + 1 - 33 - 5 - 6 = 68 - 44 = 24
[m]\Delta(y) = \begin{vmatrix}
3 & 5 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
2 & 11 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*1*3 + 1*2*11 + 2*5*1 - 1*1*2 - 3*1*11 - 3*5*2 =
= 9 + 22 + 10 - 2 - 33 - 30 = 41 - 65 = -24
[m]\Delta(z) = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 5 \\
2 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 11 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*3*11 + 5*2*1 + 2*2*1 - 5*3*2 - 11*2*2 - 3*1*1 =
= 99 + 10 + 4 - 30 - 44 - 3 = 113 - 77 = 36
Переменные:
[m]x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{24}{12} = 2[/m]
[m]y = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{-24}{12} = -2[/m]
[m]z = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{36}{12} = 3[/m]
Проверка. Подставляем переменные в систему:
{ 3x + 2y + z = 5
{ 2x + 3y + z = 1
{ 2x + y + 3z = 11
Получаем:
{ 3*2 + 2*(-2) + 3 = 6 - 4 + 3 = 5 - верно
{ 2*2 + 3*(-2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1 - верно
{ 2*2 - 2 + 3*3 = 4 - 2 + 9 = 11 - верно
Ответ: (2; -2; 3)