Задача 78534 Решите систему уравнений методом Гаусса....
Условие
Решение
{ 4*x1 + x2 + x3 + 2*x4 = 13
{ 7*x1 + 4*x2 + 3*x3 + x4 = 21
{ 2*x1 + 5*x2 + 3*x3 - 4*x4 = 3
Составляем расширенную матрицу:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 3 & | & 5 \\
4 & 1 & 1 & 2 & | & 13 \\
7 & 4 & 3 & 1 & | & 21 \\
2 & 5 & 3 & -4 & | & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -4 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на -7 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 1 строку на -2 и складываем с 4 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 3 & | & 5 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
0 & 18 & 10 & -20 & | & -14 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
\end{pmatrix}[/m]
3 уравнение делим на 2:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 3 & | & 5 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
\end{pmatrix}[/m]
2, 3 и 4 строки получились одинаковыми.
Можно оставить только 1 и 2 строки:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 3 & | & 5 \\
0 & 9 & 5 & -10 & | & -7 \\
\end{pmatrix}[/m]
Больше матрицу упростить никак нельзя.
Строим опять систему с новыми коэффициентами:
{ x1 - 2*x2 - x3 + 3*x4 = 5
{ 0*x1 + 9*x2 + 5*x3 - 10*x4 = -7
Возьмем x3 и x4 как базовые переменные, а x1 и x2 как свободные:
{ x3, x4 ∈ R
{ x2 = (-7 - 5*x3 + 10*x4)/9
{ x1 = 5 + 2*2x + x3 - 3*x4
Подставляем x2 в формулу для x1:
x1 = 5 + 2(-7 - 5*x3 + 10*x4)/9 + x3 - 3*x4
x1 = (45 - 14 - 10*x3 + 20*x4 + 9*x3 - 27*x4)/9
x1 = (31 - x3 - 7*x4)/9
Общее решение:
((31 - x3 - 7*x4)/9; (-7 - 5*x3 + 10*x4)/9; x3; x4); x3, x4 ∈ R
Частное решение:
x3 = 1; x4 = 3; x2 = (-7 - 5*1 + 10*3)/9 = (-7 - 5 + 30)/9 = 18/9 = 2
x1 = (31 - 1 - 7*3)/9 = (31 - 1 - 21)/9 = 9/9 = 1
Решение: (1; 2; 1; 3)