Задача 78532 Решить систему линейных алгебраических...
Условие
Решение
{ x1 + 2*x2 + x3 + x4 = 2
{ 2*x1 + 3*x2 + 3*x3 + x4 = 4
{ 4*x1 + 6*x2 + 5*x3 + 2*x4 = 7
Составляем расширенную матрицу:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\
1 & 2 & 1 & 1 & | & 2 \\
2 & 3 & 3 & 1 & | & 4 \\
4 & 6 & 5 & 2 & | & 7 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -1 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на -2 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 1 строку на -4 и складываем с 4 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\
0 & 1 & 1 & 3 & | & 4 \\
0 & 2 & 1 & 6 & | & 7 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 2 строку на -1 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 2 строку на -2 и складываем с 4 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 & | & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 3 строку на -1 и складываем с 4 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе. Запишем её с новыми коэффициентами:
{ x1 + x2 + x3 - x4 = 0
{ 0*x1 + x2 + 0x3 + 2*x4 = 2
{ 0*x1 + 0*x2 + x3 + x4 = 2
{ 0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + x4 = 1
Из 4 уравнения:
[b]x4 = 1[/b]
Подставляем в 3 уравнение:
x3 + 1 = 2
[b]x3 = 1[/b]
Подставляем во 2 уравнение:
x2 + 2 = 2
[b]x2 = 0[/b]
Подставляем в 1 уравнение:
x1 + 0 + 1 - 1 = 0
[b]x1 = 0[/b]
Выписываем корни:
[b]x1 = 0; x2 = 0; x3 = 1; x4 = 1[/b]
Проверка. Берем начальную систему:
{ x1 + x2 + x3 - x4 = 0
{ x1 + 2*x2 + x3 + x4 = 2
{ 2*x1 + 3*x2 + 3*x3 + x4 = 4
{ 4*x1 + 6*x2 + 5*x3 + 2*x4 = 7
Подставляем найденные корни:
{ 0 + 0 + 1 - 1 = 0 - верно
{ 0 + 2*0 + 1 + 1 = 2 - верно
{ 2*0 + 3*0 + 3*1 + 1 = 4 - верно
{ 4*0 + 6*0 + 5*1 + 2*1 = 7 - верно
Ответ: 0; 0; 1; 1