Задача 78532 Решить систему линейных алгебраических...

героин

22 октября 2024 г. в 04:31

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Сделать проверку.

Удачник66

22 октября 2024 г. в 05:00

★

{ x1 + x2 + x3 – x4 = 0
{ x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 2
{ 2·x1 + 3·x2 + 3·x3 + x4 = 4
{ 4·x1 + 6·x2 + 5·x3 + 2·x4 = 7
Составляем расширенную матрицу:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 1 & | & 4 \\ 4 & 6 & 5 & 2 & | & 7 \\ \end{pmatrix}$
Умножаем 1 строку на –1 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на –2 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 1 строку на –4 и складываем с 4 строкой.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 6 & | & 7 \\ \end{pmatrix}$
Умножаем 2 строку на –1 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 2 строку на –2 и складываем с 4 строкой.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ \end{pmatrix}$
Умножаем 3 строку на –1 и складываем с 4 строкой.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ \end{pmatrix}$
Возвращаемся к системе. Запишем её с новыми коэффициентами:
{ x1 + x2 + x3 – x4 = 0
{ 0·x1 + x2 + 0x3 + 2·x4 = 2
{ 0·x1 + 0·x2 + x3 + x4 = 2
{ 0·x1 + 0·x2 + 0·x3 + x4 = 1
Из 4 уравнения:
x4 = 1
Подставляем в 3 уравнение:
x3 + 1 = 2
x3 = 1
Подставляем во 2 уравнение:
x2 + 2 = 2
x2 = 0
Подставляем в 1 уравнение:
x1 + 0 + 1 – 1 = 0
x1 = 0
Выписываем корни:
x1 = 0; x2 = 0; x3 = 1; x4 = 1
Проверка. Берем начальную систему:
{ x1 + x2 + x3 – x4 = 0
{ x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 2
{ 2·x1 + 3·x2 + 3·x3 + x4 = 4
{ 4·x1 + 6·x2 + 5·x3 + 2·x4 = 7
Подставляем найденные корни:
{ 0 + 0 + 1 – 1 = 0 – верно
{ 0 + 2·0 + 1 + 1 = 2 – верно
{ 2·0 + 3·0 + 3·1 + 1 = 4 – верно
{ 4·0 + 6·0 + 5·1 + 2·1 = 7 – верно

Ответ: 0; 0; 1; 1