Задача 78524 Здравствуйте! Нужно решить задачу по...
Условие
Условие задачи:
На одном подносе 5 пирожков с картошкой и 5 с капустой, а во втором подносе 4 пирожка с картошкой и 8 с капустой. С первого подноса берут случайным образом 2 пирожка, со второго 2 пирожка. Найти вероятность того, что среди выбранных пирожков : а) все с одинаковой начинкой; б) ровно три пирожка с картошкой ; в) хотя бы один пирожок с картошкой
Решить по примеру во вложении:
Решение
С первого подноса берут случайным образом 2 пирожка, со второго 2 пирожка.
Найти вероятность того, что среди выбранных пирожков :
а) все с одинаковой начинкой;
б) ровно три пирожка с картошкой ;
в) хотя бы один пирожок с картошкой.
Решение:
На 1 подносе всего 10 пирожков, а на 2 подносе всего 12 пирожков.
События для 1 подноса:
B1 - взяли 2 пирожка с картошкой
B2 - взяли 1 пирожок с картошкой и 1 с капустой
B3 - взяли 2 пирожка с капустой.
События для 2 подноса:
C1 - взяли 2 пирожка с картошкой
C2 - взяли 1 пирожок с картошкой и 1 с капустой
C3 - взяли 2 пирожка с капустой.
Найдем вероятность событий:
Для 1 подноса:
[m]n = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 9 = 45[/m]
Для B1: [m]m1 = C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10[/m]
Для B2: [m]m2 = C_5^1 \cdot C_5^1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{5}{1} = 5 \cdot 5 = 25[/m]
Для B3: [m]m3 = C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10[/m]
Для 2 подноса:
[m]n = C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2} = 6 \cdot 11 = 66[/m]
Для C1: [m]m1 = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 2 \cdot 3 = 6[/m]
Для C2: [m]m2 = C_4^1 \cdot C_8^1 = \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{1} = 4 \cdot 8 = 32[/m]
Для C3: [m]m3 = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} = 4 \cdot 7 = 28[/m]
Вероятности:
[m]P(B1) = \frac{m1}{n} = \frac{10}{45};\ P(B2) = \frac{m2}{n} = \frac{25}{45};\ P(B3) = \frac{m3}{n} = \frac{10}{45}[/m]
[m]P(C1) = \frac{m1}{n} = \frac{6}{66};\ P(C2) = \frac{m2}{n} = \frac{32}{66};\ P(C3) = \frac{m3}{n} = \frac{28}{66}[/m]
а) Рассмотрим событие "все пирожки с одинаковой начинкой".
Оно состоится в двух случаях:
1) Произошли одновременно события B1 и C1.
2) Произошли одновременно события B3 и C3.
[m]P(A) = P(B1) \cdot P(C1) + P(B3) \cdot P(C3) = [/m]
[m]= \frac{10}{45} \cdot \frac{6}{66} + \frac{10}{45} \cdot \frac{28}{66} = \frac{2}{9} \cdot (\frac{6}{66} + \frac{28}{66}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{34}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{17}{33} = \frac{34}{297}[/m]
б) Рассмотрим событие "ровно 3 пирожка с картошкой"
Оно состоится в двух случаях:
1) Произошли одновременно события B1 и C2.
2) Произошли одновременно события B2 и C1.
[m]P(E) = P(B1) \cdot P(C2) + P(B2) \cdot P(C1) = [/m]
[m]= \frac{10}{45} \cdot \frac{32}{66} + \frac{25}{45} \cdot \frac{6}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{33} + \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{33} = \frac{2 \cdot 16 + 5 \cdot 3}{9 \cdot 33} = \frac{32+15}{297} = \frac{47}{297}[/m]
в) Рассмотрим событие "хотя бы один пирожок с картошкой".
[m]P(F)[/m]
Рассмотрим противоположное событие: "ни одного пирожка с картошкой".
Оно состоится только в одном случае:
Произошли одновременно события B3 и С3.
[m]P(~F) = P(B3) \cdot P(C3) = \frac{10}{45} \cdot \frac{28}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{14}{33} = \frac{2 \cdot 14}{9 \cdot 33} = \frac{28}{297}[/m]
Событие F противоположно событию ~F:
[m]P(F) = 1 - P(~F) = 1 - \frac{28}{297} = \frac{297 - 28}{297} = \frac{269}{297}[/m]