Задача 78524 Здравствуйте! Нужно решить задачу по...

Viktoria866

21 октября 2024 г. в 11:00

Здравствуйте! Нужно решить задачу по теории вероятности.
Условие задачи:
На одном подносе 5 пирожков с картошкой и 5 с капустой, а во втором подносе 4 пирожка с картошкой и 8 с капустой. С первого подноса берут случайным образом 2 пирожка, со второго 2 пирожка. Найти вероятность того, что среди выбранных пирожков : а) все с одинаковой начинкой; б) ровно три пирожка с картошкой ; в) хотя бы один пирожок с картошкой
Решить по примеру во вложении:

Удачник66

21 октября 2024 г. в 12:58

★

На одном подносе 5 пирожков с картошкой и 5 с капустой, а во втором подносе 4 пирожка с картошкой и 8 с капустой.
С первого подноса берут случайным образом 2 пирожка, со второго 2 пирожка.
Найти вероятность того, что среди выбранных пирожков :
а) все с одинаковой начинкой;
б) ровно три пирожка с картошкой ;
в) хотя бы один пирожок с картошкой.

Решение:
На 1 подносе всего 10 пирожков, а на 2 подносе всего 12 пирожков.
События для 1 подноса:
B1 – взяли 2 пирожка с картошкой
B2 – взяли 1 пирожок с картошкой и 1 с капустой
B3 – взяли 2 пирожка с капустой.
События для 2 подноса:
C1 – взяли 2 пирожка с картошкой
C2 – взяли 1 пирожок с картошкой и 1 с капустой
C3 – взяли 2 пирожка с капустой.
Найдем вероятность событий:
Для 1 подноса:
$n = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 9 = 45$
Для B1: $m1 = C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10$
Для B2: $m2 = C_5^1 \cdot C_5^1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{5}{1} = 5 \cdot 5 = 25$
Для B3: $m3 = C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10$
Для 2 подноса:
$n = C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2} = 6 \cdot 11 = 66$
Для C1: $m1 = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 2 \cdot 3 = 6$
Для C2: $m2 = C_4^1 \cdot C_8^1 = \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{1} = 4 \cdot 8 = 32$
Для C3: $m3 = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} = 4 \cdot 7 = 28$
Вероятности:
$P(B1) = \frac{m1}{n} = \frac{10}{45};\ P(B2) = \frac{m2}{n} = \frac{25}{45};\ P(B3) = \frac{m3}{n} = \frac{10}{45}$
$P(C1) = \frac{m1}{n} = \frac{6}{66};\ P(C2) = \frac{m2}{n} = \frac{32}{66};\ P(C3) = \frac{m3}{n} = \frac{28}{66}$

а) Рассмотрим событие "все пирожки с одинаковой начинкой".
Оно состоится в двух случаях:
1) Произошли одновременно события B1 и C1.
2) Произошли одновременно события B3 и C3.
$P(A) = P(B1) \cdot P(C1) + P(B3) \cdot P(C3) =$
$= \frac{10}{45} \cdot \frac{6}{66} + \frac{10}{45} \cdot \frac{28}{66} = \frac{2}{9} \cdot (\frac{6}{66} + \frac{28}{66}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{34}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{17}{33} = \frac{34}{297}$

б) Рассмотрим событие "ровно 3 пирожка с картошкой"
Оно состоится в двух случаях:
1) Произошли одновременно события B1 и C2.
2) Произошли одновременно события B2 и C1.
$P(E) = P(B1) \cdot P(C2) + P(B2) \cdot P(C1) =$
$= \frac{10}{45} \cdot \frac{32}{66} + \frac{25}{45} \cdot \frac{6}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{33} + \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{33} = \frac{2 \cdot 16 + 5 \cdot 3}{9 \cdot 33} = \frac{32+15}{297} = \frac{47}{297}$

в) Рассмотрим событие "хотя бы один пирожок с картошкой".
$P(F)$
Рассмотрим противоположное событие: "ни одного пирожка с картошкой".
Оно состоится только в одном случае:
Произошли одновременно события B3 и С3.
$P(~F) = P(B3) \cdot P(C3) = \frac{10}{45} \cdot \frac{28}{66} = \frac{2}{9} \cdot \frac{14}{33} = \frac{2 \cdot 14}{9 \cdot 33} = \frac{28}{297}$
Событие F противоположно событию ~F:
$P(F) = 1 - P(~F) = 1 - \frac{28}{297} = \frac{297 - 28}{297} = \frac{269}{297}$