Задача 78516 Дискретная математика Скоро сдача...

Богдан_486565468

20 октября 2024 г. в 04:07

Дискретная математика
Скоро сдача

Удачник66

20 октября 2024 г. в 08:57

★

4. Я не знаю, как делать.
5. Многочлен 4 степени имеет вид:
p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
По его значениям в разных точках можно составить систему уравнений:
{ a·4⁴ + b·4³ + c·4² + d·4 + e = p(4) = 5
{ a·1⁴ + b·1³ + c·1² + d·1 + e = p(1) = 5
{ a·(–1)⁴ + b·(–1)³ + c·(–1)² + d·(–1) + e = p(–1) = 5
{ a·(–2)⁴ + b·(–2)³ + c·(–2)² + d·(–2) + e = p(–2) = 41
{ a·2⁴ + b·2³ + c·2² + d·2 + e = p(2) = –7
Находим коэффициенты:
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 5
{ a + b + c + d + e = 5
{ a – b + c – d + e = 5
{ 16a – 8b + 4c – 2d + e = 41
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = –7
Расположим уравнения в другом порядке, так будет удобнее:
{ a + b + c + d + e = 5
{ a – b + c – d + e = 5
{ 16a – 8b + 4c – 2d + e = 41
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = –7
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 5
Умножаем 1 уравнение на –1 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –16 и складываем с 3 и с 4 уравнениями отдельно.
Умножаем 1 уравнение на –256 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 5
{ 0a – 2b + 0c – 2d + 0e = 0
{ 0a – 24b – 12c – 18d – 15e = –39
{ 0a – 8b – 12c – 14d – 15e = –87
{ 0a – 192b – 240c – 252d – 255e = –1275
2 уравнение сокращаем на 2.
Кстати, из 2 уравнения следует: d = –b, можно его подставить везде.
{ a + b + c – d + e = 5
{ 0a – b + 0c – d + 0e = 0
{ 0a – 24b – 12c + 18b – 15e = –39
{ 0a – 8b – 12c + 14b – 15e = –87
{ 0a – 192b – 240c + 252b – 255e = –1275
Приводим подобные:
{ a + c + e = 5
{ d = –b
{ 0a – 6b – 12c – 15e = –39
{ 0a + 6b – 12c – 15e = –87
{ 0a + 60b – 240c – 255e = –1275
Умножаем 3 уравнение на –1 и складываем с 4 уравнением:
{ a + c + e = 5
{ d = –b
{ 0a – 6b – 12c – 15e = –39
{ 0a + 12b + 0c + 0e = –48
{ 0a + 60b – 240c – 255e = –1275
Из 4 уравнения:
b = –48/12 = –4
Из 2 уравнения:
d = –b = 4
Подставляем в остальные уравнения:
{ a + c + e = 5
{ 0a + 24 – 12c – 15e = –39
{ 0a – 240 – 240c – 255e = –1275
Приводим подобные:
{ a + c + e = 5
{ –12c – 15e = –63
{ –240c – 255e = –1035
2 уравнение сокращаем на –3. 3 уравнение сокращаем на 15.
{ a + c + e = 5
{ 4c + 5e = 21
{ –16c – 17e = –69
Умножаем 2 уравнение на 4 и складываем с 3 уравнением:
{ a + c + e = 5
{ 4c + 5e = 21
{ 0c + 3e = 15
Из 3 уравнения:
e = 15/3 = 5
Из 2 уравнения:
4c = 21 – 5·5 = –4
c = –4/4 = –1
И из 1 уравнения:
a – 1 + 5 = 5
a = 5 – 5 + 1 = 1
Выпишем все коэффициенты:
a = 1; b = –4; c = –1; d = 4; e = 5
Многочлен:
p(x) = x⁴ – 4x³ – x² + x + 5

6. x⁴ – 5x³ – 6x² + 7x – 2
Здесь какая–то ошибка, этот многочлен имеет 2 иррациональных корня:
x1 ≈ –1,6504; x2 ≈ 5,833

7. Уравнение в 5–ной системе:
3x + 213 = 430
Переводим все числа в 10–ную систему:
3(5) = 3(10)
213(5) = 2·5² + 1·5 + 3 = 2·25 + 5 + 3 = 58(10)
430 = 4·5² + 3·5 = 4·25 + 15 = 115(10)
Получаем уравнение:
3x + 58 = 115
3x = 115 – 58 = 57
x = 57/3 = 19(10)
В 5–ной системе:
19(10) = 3·5 + 4 = 34(5)

8 и 10. Я не знаю, как делать.

9. Выделяем целую часть:
$\frac{790}{207} = \frac{621 + 169}{207} = 3 + \frac{169}{207} = 3 + \frac{1}{\frac{207}{169}}$
$\frac{207}{169} = \frac{169 + 38}{169} = 1 + \frac{38}{169} = 1 + \frac{1}{\frac{169}{38}}$
$\frac{169}{38} = \frac{152 + 17}{38} = 4 + \frac{17}{38} = 4 + \frac{1}{\frac{38}{17}}$
$\frac{38}{17} = \frac{34+4}{17} = 2 + \frac{4}{17} = 2 + \frac{1}{\frac{17}{4}}$
$\frac{17}{4} = \frac{16+1}{4} = 4 + \frac{1}{4}$
Всё. Окончательно получаем:
$\Large \frac{790}{207} = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4}}}}}$