Задача 78516 Дискретная математика Скоро сдача...
Условие
Скоро сдача
Решение
5. Многочлен 4 степени имеет вид:
p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
По его значениям в разных точках можно составить систему уравнений:
{ a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = p(4) = 5
{ a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = p(1) = 5
{ a*(-1)^4 + b*(-1)^3 + c*(-1)^2 + d*(-1) + e = p(-1) = 5
{ a*(-2)^4 + b*(-2)^3 + c*(-2)^2 + d*(-2) + e = p(-2) = 41
{ a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = p(2) = -7
Находим коэффициенты:
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 5
{ a + b + c + d + e = 5
{ a - b + c - d + e = 5
{ 16a - 8b + 4c - 2d + e = 41
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = -7
Расположим уравнения в другом порядке, так будет удобнее:
{ a + b + c + d + e = 5
{ a - b + c - d + e = 5
{ 16a - 8b + 4c - 2d + e = 41
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = -7
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 5
Умножаем 1 уравнение на -1 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -16 и складываем с 3 и с 4 уравнениями отдельно.
Умножаем 1 уравнение на -256 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 5
{ 0a - 2b + 0c - 2d + 0e = 0
{ 0a - 24b - 12c - 18d - 15e = -39
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = -87
{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = -1275
2 уравнение сокращаем на 2.
Кстати, из 2 уравнения следует: d = -b, можно его подставить везде.
{ a + b + c - d + e = 5
{ 0a - b + 0c - d + 0e = 0
{ 0a - 24b - 12c + 18b - 15e = -39
{ 0a - 8b - 12c + 14b - 15e = -87
{ 0a - 192b - 240c + 252b - 255e = -1275
Приводим подобные:
{ a + c + e = 5
{ d = -b
{ 0a - 6b - 12c - 15e = -39
{ 0a + 6b - 12c - 15e = -87
{ 0a + 60b - 240c - 255e = -1275
Умножаем 3 уравнение на -1 и складываем с 4 уравнением:
{ a + c + e = 5
{ d = -b
{ 0a - 6b - 12c - 15e = -39
{ 0a + 12b + 0c + 0e = -48
{ 0a + 60b - 240c - 255e = -1275
Из 4 уравнения:
[b]b = -48/12 = -4[/b]
Из 2 уравнения:
[b]d = -b = 4[/b]
Подставляем в остальные уравнения:
{ a + c + e = 5
{ 0a + 24 - 12c - 15e = -39
{ 0a - 240 - 240c - 255e = -1275
Приводим подобные:
{ a + c + e = 5
{ -12c - 15e = -63
{ -240c - 255e = -1035
2 уравнение сокращаем на -3. 3 уравнение сокращаем на 15.
{ a + c + e = 5
{ 4c + 5e = 21
{ -16c - 17e = -69
Умножаем 2 уравнение на 4 и складываем с 3 уравнением:
{ a + c + e = 5
{ 4c + 5e = 21
{ 0c + 3e = 15
Из 3 уравнения:
[b]e = 15/3 = 5[/b]
Из 2 уравнения:
4c = 21 - 5*5 = -4
[b]c = -4/4 = -1[/b]
И из 1 уравнения:
a - 1 + 5 = 5
[b]a = 5 - 5 + 1 = 1[/b]
Выпишем все коэффициенты:
[b]a = 1; b = -4; c = -1; d = 4; e = 5[/b]
Многочлен:
p(x) = x^4 - 4x^3 - x^2 + x + 5
6. x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 7x - 2
Здесь какая-то ошибка, этот многочлен имеет 2 иррациональных корня:
x1 ≈ -1,6504; x2 ≈ 5,833
7. Уравнение в 5-ной системе:
3x + 213 = 430
Переводим все числа в 10-ную систему:
3(5) = 3(10)
213(5) = 2*5^2 + 1*5 + 3 = 2*25 + 5 + 3 = 58(10)
430 = 4*5^2 + 3*5 = 4*25 + 15 = 115(10)
Получаем уравнение:
3x + 58 = 115
3x = 115 - 58 = 57
x = 57/3 = 19(10)
В 5-ной системе:
19(10) = 3*5 + 4 = 34(5)
8 и 10. Я не знаю, как делать.
9. Выделяем целую часть:
[m]\frac{790}{207} = \frac{621 + 169}{207} = 3 + \frac{169}{207} = 3 + \frac{1}{\frac{207}{169}}[/m]
[m]\frac{207}{169} = \frac{169 + 38}{169} = 1 + \frac{38}{169} = 1 + \frac{1}{\frac{169}{38}}[/m]
[m]\frac{169}{38} = \frac{152 + 17}{38} = 4 + \frac{17}{38} = 4 + \frac{1}{\frac{38}{17}}[/m]
[m]\frac{38}{17} = \frac{34+4}{17} = 2 + \frac{4}{17} = 2 + \frac{1}{\frac{17}{4}}[/m]
[m]\frac{17}{4} = \frac{16+1}{4} = 4 + \frac{1}{4}[/m]
Всё. Окончательно получаем:
[m]\Large \frac{790}{207} = 3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4}}}}}[/m]