Задача 78515 Нужно решить задание на фото...

Тётушка Совунья

20 октября 2024 г. в 03:13

Нужно решить задание на фото

Удачник66

20 октября 2024 г. в 03:31

★

Дано: $\log_7 (m) = 24;\ \ \ \log_7 (n) = 45$
Найти: $\log_{\sqrt[3]{7}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{n}}$
Логарифм дроби равен разности логарифмов:
$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} (b) - \log_{a} (c)$
Степень выносится вперёд и умножается на логарифм:
$\log_{a} (b^{c}) = c \cdot \log_{a} (b)$
В нашем случае:
$\log_{\sqrt[3]{7}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{n}} = \log_{\sqrt[3]{7}} (\sqrt{m}) - \log_{\sqrt[3]{7}} (\sqrt[5]{n}) = \frac{1}{2} \cdot \log_{\sqrt[3]{7}} (m) - \frac{1}{5} \cdot \log_{\sqrt[3]{7}} (n)$
Кроме того, у логарифмов есть замечательное свойство:
$\log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}$
Причём новое основание с может быть каким угодно, например, 10:
$\log_{\sqrt[3]{7}} (m) = \frac{\lg (m)}{\lg (\sqrt[3]{7})} = \frac{\lg (m)}{1/3 \cdot \lg (7)} = 3 \cdot \frac{\lg (m)}{\lg (7)} = 3 \cdot \log_7 (m) = 3 \cdot 24 = 72$
$\log_{\sqrt[3]{7}} (n) = \frac{\lg (n)}{\lg (\sqrt[3]{7})} = \frac{\lg (n)}{1/3 \cdot \lg (7)} = 3 \cdot \frac{\lg (n)}{\lg (7)} = 3 \cdot \log_7 (n) = 3 \cdot 45 = 135$
Получаем:
$\log_{\sqrt[3]{7}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{n}} = \frac{1}{2} \cdot \log_{\sqrt[3]{7}} (m) - \frac{1}{5} \cdot \log_{\sqrt[3]{7}} (n) = \frac{1}{2} \cdot 72 - \frac{1}{5} \cdot 135 = 36 - 27 = 9$

Ответ: 9