Задача 78512 Вычислите Sin 21 Cos 9 + Cos 159 Cos 99...
Условие
Решение
По формулам приведения:
cos (180° - a) = -cos a
cos (90° + a) = -sin a
Поэтому:
cos 159° = cos (180° - 21°) = -cos 21°
cos 99° = cos (90° + 9°) = -sin 9°
cos 160° = cos (180° - 20°) = -cos 20°
cos 100° = cos (90° + 10°) = -sin 10°
Подставляем:
[m]\frac{\sin 21° \cos 9° + (-\cos 21°)(-\sin 9°)}{\sin 20° \cos 10° + (-\cos 20°) (-\sin 10°)} = \frac{\sin 21° \cos 9° + \cos 21° \sin 9°}{\sin 20° \cos 10° + \cos 20° \sin 10°}[/m]
По формуле синуса суммы:
sin (a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Получаем:
[m]\frac{\sin 21° \cos 9° + \cos 21° \sin 9°}{\sin 20° \cos 10° + \cos 20° \sin 10°} = \frac{\sin (21° + 9°)}{\sin (20° +10°)} = \frac{\sin (30°)}{\sin (30°)} = 1[/m]
Здесь даже не нужно знать, что sin 30° = 1/2. Числитель и знаменатель одинаковые.
Ответ: 1