Задача 78506 Составить уравнение и построить линию,...

671410d1bc8c5879e2b81441

10/19/2024 8:05:44 PM

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки
которой от точки A(2;0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.

626fab9a354ab65fb2f43abb

10/20/2024 11:35:23 AM

★

Возьмем некую точку M(x, y) на этой кривой.
Расстояние от точки M до точки А:
|AM| = sqrt((x - 2)^2 + (y - 0)^2) = sqrt((x - 2)^2 + y^2)
Чтобы найти расстояние от точки М до прямой (L): 5x + 8 = 0,
нужно построить перпендикуляр к этой прямой.
5x + 8 = 0
x = -8/5 = -1,6
Перпендикуляром к ней будет любая прямая вида: y = a
Если, конечно, нет ошибки в уравнении прямой.
А расстоянием от точки М до прямой L будет разность иксов:
|M; L| = x + 1,6

У нас есть условие: расстояние |AM| : |M; L| = 5 : 4
Составляем уравнение:
4*|AM| = 5*|M; L|
4sqrt((x - 2)^2 + y^2) = 5*(x + 1,6)
4sqrt((x - 2)^2 + y^2) = 5x + 8
Так как расстояния все неотрицательные, можно возвести всё в квадрат.
16((x - 2)^2 + y^2) = 25x^2 + 80x + 64
16x^2 - 64x + 64 + 16y^2 = 25x^2 + 80x + 64
64 = 25x^2 + 80x - 16x^2 + 64x + 64 - 16y^2
9x^2 + 144x - 16y^2 = 0
9(x^2 + 2*x*8 + 8^2) - 16y^2 = 9*8^2
9(x + 8)^2 - 16y^2 = 576
[m]\frac{(x+8)^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1[/m]
Это гипербола с центром (-8; 0) и полуосями a = 8; b = 6