Задача 78506 Составить уравнение и построить линию,...

Skysadbess

19 октября 2024 г. в 08:05

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки
которой от точки A(2;0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.

Удачник66

20 октября 2024 г. в 11:35

★

Возьмем некую точку M(x, y) на этой кривой.
Расстояние от точки M до точки А:
|AM| = √(x – 2)² + (y – 0)² = √(x – 2)² + y²
Чтобы найти расстояние от точки М до прямой (L): 5x + 8 = 0,
нужно построить перпендикуляр к этой прямой.
5x + 8 = 0
x = –8/5 = –1,6
Перпендикуляром к ней будет любая прямая вида: y = a
Если, конечно, нет ошибки в уравнении прямой.
А расстоянием от точки М до прямой L будет разность иксов:
|M; L| = x + 1,6

У нас есть условие: расстояние |AM| : |M; L| = 5 : 4
Составляем уравнение:
4·|AM| = 5·|M; L|
4√(x – 2)² + y² = 5·(x + 1,6)
4√(x – 2)² + y² = 5x + 8
Так как расстояния все неотрицательные, можно возвести всё в квадрат.
16((x – 2)² + y²) = 25x² + 80x + 64
16x² – 64x + 64 + 16y² = 25x² + 80x + 64
64 = 25x² + 80x – 16x² + 64x + 64 – 16y²
9x² + 144x – 16y² = 0
9(x² + 2·x·8 + 8²) – 16y² = 9·8²
9(x + 8)² – 16y² = 576
$\frac{(x+8)^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$
Это гипербола с центром (–8; 0) и полуосями a = 8; b = 6