Задача 78502 Даны координаты вершин треугольника...

Эвик

19 октября 2024 г. в 01:39

Даны координаты вершин треугольника A(1,3,5) B(1,2,–3) C(3,4,1). Найдите площадь треугольника и высоту ,опущенную из точки B

Удачник66

19 октября 2024 г. в 04:09

★

A(1; 3; 5); B(1; 2; –3); C(3; 4; 1).
Длины сторон:
|AB| = √(1–1)² + (2–3)² + (–3–5)² = √0² + (–1)² + (–8)² = √0 + 1 + 64 = √65
|AC| = √(3–1)² + (4–3)² + (1–5)² = √2² + 1² + (–4)² = √4 + 1 + 16 = √21
|BC| = √(3–1)² + (4–2)² + (1+3)² = √2² + 2² + 4² = √4 + 4 + 16 = √24
p = (|AB| + |AC| + |BC|)/2 = (√65 + √21 + √24)/2
$S^2 = p(p-|AB|)(p-|AC|)(p-|BC|) =$
$=\frac{\sqrt{65} + \sqrt{21} + \sqrt{24}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{65} + \sqrt{21} + \sqrt{24}}{2} \cdot \frac{\sqrt{65} - \sqrt{21} + \sqrt{24}}{2} \cdot \frac{\sqrt{65} + \sqrt{21} - \sqrt{24}}{2} =$
$= \frac{(\sqrt{65} + \sqrt{21} + \sqrt{24})(-\sqrt{65} + \sqrt{21} + \sqrt{24})}{4} × \frac{(\sqrt{65} - \sqrt{21} + \sqrt{24})(\sqrt{65} + \sqrt{21} - \sqrt{24})}{4} =$
$= \frac{(-65 - \sqrt{1365} - \sqrt{1560}+\sqrt{1365}+21+\sqrt{504}+ \sqrt{1560}+ \sqrt{504}+24)}{4} ×$
$× \frac{(65 -\sqrt{1365} +\sqrt{1560} + \sqrt{1365}- 21+ \sqrt{504} - \sqrt{1560}+\sqrt{504}-24)}{4} =$
$= \frac{(-20+2\sqrt{504})(20 + 2\sqrt{504})}{4 \cdot 4} = \frac{-400 + 4 \cdot 504}{4 \cdot 4} = \frac{-100 + 504}{4} = \frac{404}{4} = 101$
S(ABC) = √101
Но по другой формуле площадь треугольника:
$S(ABC) = \frac{|AC| \cdot |BH|}{2}$
$\sqrt{101} = \frac{\sqrt{21} \cdot |BH|}{2}$
Высота, опущенная из вершины B:
$|BH| = \frac{2 \sqrt{101}}{\sqrt{21}} = \frac{2 \sqrt{101} \cdot \sqrt{21}}{21} = \frac{2 \sqrt{2121}}{21}$
|BH| = 2·√2121/21