Задача 78501 При каком значении альфа прямые будут...
Условие
Решение
2 Прямая:
{ x = -5 + 3t
{ y = 2 - α*t
{ z = α*t
При каком α прямые будут: а) Перпендикулярны, б) Лежать в одной плоскости?
Решение:
Переведём 2 Прямую в каноническую форму:
[m]t = \frac{x+5}{3} = \frac{y - 2}{-α} = \frac{z}{α}[/m]
а) Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:
m1*m2 + n1*n2 + p1*p2 = 0
Где (m, n, p) - направляющий вектор прямой, то есть знаменатели дробей.
(-1)*3 + 1*(-α) + 4*α = 0
-3 - α + 4α = 0
3α = 3
[b]α = 1[/b]
Прямая [m]\frac{x+5}{3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}[/m] перпендикулярна прямой [m]\frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{4}[/m]
б) Две прямые лежат в одной плоскости, если выполняется условие:
[m]\begin{vmatrix}
x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
В нашем случае:
[m]\begin{vmatrix}
-5-(-1) & 2-1 & 0-0 \\
-1 & 1 & 4 \\
3 & -α & α \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Приводим подобные:
[m]\begin{vmatrix}
-4 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 4 \\
3 & -α & α \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Раскрываем определитель:
-4*1*α + 3*1*4 + 0*(-1)(-α) - 0*1*3 - (-4)*4(-α) - α*1(-1) = 0
-4α + 12 + 0 - 0 - 16α + α = 0
-19α + 12 = 0
[b]α = 12/19[/b]
Прямая [m]\frac{x+5}{3} = \frac{y - 2}{-12/19} = \frac{z}{12/19}[/m] лежит в одной плоскости с прямой [m]\frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{4}[/m]