Задача 78496 Даны четыре точки A,B,C,D. Составить...

67123c75bc8c5879e2b811fb

10/18/2024 10:48:54 AM

Даны четыре точки A,B,C,D. Составить уравнение: а) плоскости АВС; б) прямой АВ; в) прямой DM, перпендикулярной плоскости АВС; г) прямой СN, параллельной прямой АВ; д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой AB.
Вычислить: синус угла между прямой AD и плоскостью АВС; косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью АВС.
А(6;6;5)В(-5;7;-7)С(4;2;10)D(1;2;7)

626fab9a354ab65fb2f43abb

10/18/2024 8:25:09 PM

★

A(6; 6; 5); B(-5; 7; -7); C(4; 2; 10); D(1; 2; 7)
а) Уравнение плоскости ABC:
[m]\begin{vmatrix}
x - 6 & y - 6 & z - 5 \\
-5 - 6 & 7 - 6 & -7 - 5 \\
4 - 6 & 2 - 6 & 10 - 5 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

[m]\begin{vmatrix}
x - 6 & y - 6 & z - 5 \\
-11 & 1 & -12 \\
-2 & -4 & 5 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

(x-6)*1*5 + (y-6)(-2)(-12) + (z-5)(-11)(-4) - (x-6)(-4)(-12) - (y-6)*5(-11) - (z-5)*1(-2) = 0
5(x - 6) + 24(y - 6) + 44(z - 5) - 48(x - 6) + 55(y - 6) + 2(z - 5) = 0
5x - 30 + 24y - 144 + 44z - 220 - 48x + 288 + 55y - 330 + 2z - 10 = 0
[b]-43x + 79y + 46z - 446 = 0[/b]

б) Уравнение прямой AB:
[m]\frac{x - 6}{-5-6} = \frac{y-6}{7-6} = \frac{z-5}{-7-5}[/m]
[m]\frac{x - 6}{-11} = \frac{y-6}{1} = \frac{z-5}{-12}[/m]

в) Уравнение прямой DM ⊥ (ABC).
Вектор DM - нормальный вектор плоскости (ABC).
В числителях дробей координаты D, а в знаменателях коэффициенты (ABC):
[m]\frac{x - 1}{-43} = \frac{y-2}{79} = \frac{z-7}{46}[/m]

г) Уравнение прямой CN || AB.
Знаменатели такие же, как в (AB), а в числителях стоят координаты D.
[m]\frac{x - 4}{-11} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-10}{-12}[/m]


д) Уравнение плоскости, проходящей через т. D и перпендикулярной (AB)
Вектор AB ⊥ плоскости - значит, AB - это нормальный вектор плоскости.
Коэффициенты плоскости равны знаменателям дробей в уравнениях (AB).
-11(x - 1) + 1(y - 2) - 12(z - 7) = 0
-11x + 11 + y - 2 - 12z + 84 = 0
-11x + y - 12z + 93 = 0