Задача 78496 Даны четыре точки A,B,C,D. Составить...

Илья_883663650

18 октября 2024 г. в 10:48

Даны четыре точки A,B,C,D. Составить уравнение: а) плоскости АВС; б) прямой АВ; в) прямой DM, перпендикулярной плоскости АВС; г) прямой СN, параллельной прямой АВ; д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой AB.
Вычислить: синус угла между прямой AD и плоскостью АВС; косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью АВС.
А(6;6;5)В(–5;7;–7)С(4;2;10)D(1;2;7)

Удачник66

18 октября 2024 г. в 08:25

★

A(6; 6; 5); B(–5; 7; –7); C(4; 2; 10); D(1; 2; 7)
а) Уравнение плоскости ABC:
$\begin{vmatrix} x - 6 & y - 6 & z - 5 \\ -5 - 6 & 7 - 6 & -7 - 5 \\ 4 - 6 & 2 - 6 & 10 - 5 \\ \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x - 6 & y - 6 & z - 5 \\ -11 & 1 & -12 \\ -2 & -4 & 5 \\ \end{vmatrix} = 0$

(x–6)·1·5 + (y–6)(–2)(–12) + (z–5)(–11)(–4) – (x–6)(–4)(–12) – (y–6)·5(–11) – (z–5)·1(–2) = 0
5(x – 6) + 24(y – 6) + 44(z – 5) – 48(x – 6) + 55(y – 6) + 2(z – 5) = 0
5x – 30 + 24y – 144 + 44z – 220 – 48x + 288 + 55y – 330 + 2z – 10 = 0
–43x + 79y + 46z – 446 = 0

б) Уравнение прямой AB:
$\frac{x - 6}{-5-6} = \frac{y-6}{7-6} = \frac{z-5}{-7-5}$
$\frac{x - 6}{-11} = \frac{y-6}{1} = \frac{z-5}{-12}$

в) Уравнение прямой DM ⊥ (ABC).
Вектор DM – нормальный вектор плоскости (ABC).
В числителях дробей координаты D, а в знаменателях коэффициенты (ABC):
$\frac{x - 1}{-43} = \frac{y-2}{79} = \frac{z-7}{46}$

г) Уравнение прямой CN || AB.
Знаменатели такие же, как в (AB), а в числителях стоят координаты D.
$\frac{x - 4}{-11} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-10}{-12}$


д) Уравнение плоскости, проходящей через т. D и перпендикулярной (AB)
Вектор AB ⊥ плоскости – значит, AB – это нормальный вектор плоскости.
Коэффициенты плоскости равны знаменателям дробей в уравнениях (AB).
–11(x – 1) + 1(y – 2) – 12(z – 7) = 0
–11x + 11 + y – 2 – 12z + 84 = 0
–11x + y – 12z + 93 = 0