Задача 78472 ,""J"‘/—\I;x;«u:o_ 1-y? ...

nst

17 октября 2024 г. в 09:57

,""J"‘/—\I;x;«u:o_ 1–y?

Удачник66

17 октября 2024 г. в 05:48

★

$y' \cdot y \cdot \sqrt{ \frac{1-x^2}{1-y^2} } + 1 = 0$
$y' \cdot y \cdot \sqrt{ \frac{1-x^2}{1-y^2} } + \sqrt{ \frac{1-y^2}{1-y^2} } = 0$
$\frac{y' \cdot y \cdot \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-y^2}} + \frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-y^2}} = 0$
Умножаем всё на $\sqrt{1-y^2}$
$y' \cdot y \cdot \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = 0$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$-y \cdot \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = \sqrt{1-y^2}$
$-\frac{y\ dy}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
Правый интеграл простой:
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arcsin(x) + C$
Левый чуть сложнее:
$\int (-\frac{y\ dy}{\sqrt{1-y^2}})$
Замена 1 – y² = t; dt = –2y dy; –y dy = 1/2 dt
$\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - y^2}$
Получили уравнение:
$\sqrt{1 - y^2} = arcsin(x) + C$
Можно оставить в таком неявном виде, а можно довести до явного:
$1 - y^2 = (arcsin(x) + C)^2$
$y^2 = 1 - (arcsin(x) + C)^2$
$y = ± \sqrt{1 - (arcsin(x) + C)^2}$
Но это нежелательно, знак ± в функции не приветствуется.
Лучше оставить в неявном виде.