Задача 78449 Нужно решить этот вариант...

maksfun

14 октября 2024 г. в 10:46

Нужно решить этот вариант

Удачник66

14 октября 2024 г. в 06:53

★

1) Решить диофантово уравнение – это значит найти целые решения уравнения, в котором больше одного неизвестного.
3381x – 5543y = 115
3381x = 115 + 5543y
$x = \frac{5543y + 115}{3381} = \frac{3381y + 2162y + 115}{3381} = y + \frac{2162y + 115}{3381}$
Чтобы x было целым, нужно, чтобы число 2162y + 115 делилось на 3381.
2162y + 115 = 3381·k
2162y = 3381·k – 115
При k = 87 получается
y = 136, тогда:
$x = y + \frac{2162y + 115}{3381} = 136 + 87 = 223$
Наименьшая положительная пара: (223; 136)
Остальные пары получаются прибавлением и вычитанием 3381 к значению y.
Тогда к x соответственно прибавляется или вычитается 5543.
Ответ: (223 + 5543n; 136 + 3381n), n ∈ Z

2) Число √377 представить в виде цепной дроби.
Заметим, что 19² = 361, 20² = 400
19² < 377 < 20²
19 < √377 < 20
Поэтому на 1 шаге будет:
√377 = 19 + 1/X
Умножаем всё уравнение на X:
√377·X = 19X + 1
X(√377 – 19) = 1
$X = \frac{1}{\sqrt{377} - 19} = \frac{\sqrt{377} + 19}{377 - 19^2} = \frac{\sqrt{377} + 19}{377 - 361} = \frac{\sqrt{377} + 19}{16}$
$\frac{1}{X} = \frac{16}{\sqrt{377} + 19}$
$\sqrt{377} = 19 + \frac{16}{\sqrt{377} + 19}$

На 2 шаге преобразуем $\sqrt{377} + 19$ в дробь.
$\sqrt{377} + 19 = 38 + \frac{16}{\sqrt{377} + 19}$
И дальше всё по кругу: числа 38 и 16 в числителях повторяются бесконечно.
Ответ: $\sqrt{377} = 19 + \frac{16}{38 + \frac{16}{38 + \frac{16}{...}}}$

3) Найти наименьшее натуральное x, удовлетворяющее условиям:
{ x ≡ 32 mod 34
{ x ≡ 15 mod 31
{ x ≡ 1 mod 11
{ x ≡ 3 mod 15
Эти записи означают остатки от деления на разные числа:
{ x = 34·a + 32
{ x = 31·b + 15
{ x = 11·c + 1
{ x = 15·d + 3
Здесь уже не знаки сравнения ≡, а настоящие равенства.
Из 1 уравнения ясно, что x ≥ 66 и что x четное.
Из 3 уравнения ясно, что x – 1 нацело делится на 11.
Из 4 уравнения ясно, что x нацело делится на 3 и x – 3 нацело делится на 15.
Это значит, что x – 3 кончается на 0 или на 5, тогда x кончается на 3 или на 8.
Но, так как мы знаем из 1 уравнения, что x четное, значит, оно кончается на 8.
Значит, x – 1 кончается на 7 и при этом делится на 11.
Нам подходят такие числа больше 66:
x = 78, 408, 738, ...
Прибавляем каждый раз по 11·30 = 330.
Все эти числа удовлетворяют 3 и 4 уравнениям.
Число в общем виде выглядит так:
x = 78 + 330·n
Проверяем x на 1 условие:
78 + 330·n = 34·a + 32
46 + 330·n = 34·a
23 + 165·n = 17·a
$a = \frac{165n + 23}{17} = \frac{153n + 17 + 12n + 6}{17} = 9n+1+\frac{12n + 6}{17}$
Чтобы а было целым, 12·n + 6 должно нацело делиться на 17.
Наименьшее такое n = 8, тогда:
a = 9·8 + 1 + (12·8 + 6)/17 = 73 + 102/17 = 73 + 6 = 79
Дальше n идут через 17:
8; 25; 42; 59; 76; 93; 110; 127

Проверяем x на 2 условие.
78 + 330·n = 31·b + 15
63 + 330·n = 31·b
$b = \frac{330n + 63}{31} = \frac{310n + 62 + 20n + 1}{31} = 10n + 2 + \frac{20n + 1}{31}$
Чтобы b было целым, 20·n + 1 должно нацело делиться на 31.
Наименьшее такое n = 17, тогда:
b = 10·17 + 2 + (20·17 + 1)/31 = 172 + 11 = 183
Дальше n идут через 31:
17; 48; 79; 110; 141

Наименьшее n, совпадающее в обоих рядах:
n = 110
x = 78 + 330·n = 78 + 330·110 = 36378
Ответ: 36378

4) Я не знаю, как решать

5) Многочлен p 4 степени выглядит так:
p = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
Дано: p(–2) = –16; p(1) = 2; p(–1) = 6; p(2) = 0; p(3) = –26
Составляем систему:
{ a(–2)⁴ + b(–2)³ + c(–2)² + d(–2) + e = –16
{ a·1⁴ + b·1³ + c·1² + d·1 + e = 2
{ a(–1)⁴ + b(–1)³ + c(–1)² + d(–1) + e = 6
{ a·2⁴ + b·2³ + c·2² + d·2 + e = 0
{ a·3⁴ + b·3³ + c·3² + d·3 + e = –26
Записываем в нормальном виде:
{ 16a – 8b + 4c – 2d + e = –16
{ a + b + c + d + e = 2
{ a – b + c – d + e = 6
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = –26
Переписываем так, чтобы коэффициенты при а возрастали:
{ a + b + c + d + e = 2
{ a – b + c – d + e = 6
{ 16a – 8b + 4c – 2d + e = –16
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = –26
Умножаем 1 уравнение на –1 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –16 и складываем с 3 и с 4 уравнением отдельно.
Умножаем 1 уравнение на –81 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a – 2b + 0c – 2d + 0e = 4
{ 0a – 24b – 12c – 18d – 15e = –48
{ 0a – 8b – 12c – 14d – 15e = –32
{ 0a – 54b – 72c – 78d – 80e = –188
Замечаем, что 2 и 5 уравнения сокращаются на 2, а 3 уравнение на 3.
Но 2 уравнение мы разделим на –2:
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = –2
{ 0a – 8b – 4c – 6d – 5e = –16
{ 0a – 8b – 12c – 14d – 15e = –32
{ 0a – 27b – 36c – 39d – 40e = –94
Умножаем 2 уравнение на 8 и складываем с 3 и 4 уравнением отдельно.
Умножаем 2 уравнение на 27 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = –2
{ 0a + 0b – 4c + 2d – 5e = –32
{ 0a + 0b – 12c – 6d – 15e = –48
{ 0a + 0b – 36c – 12d – 40e = –148
Замечаем, что 4 уравнение сокращается на 3, а 5 уравнение на 4.
Но мы разделим 4 уравнение на –3, а 5 уравнение на –4 соответственно:
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = –2
{ 0a + 0b – 4c + 2d – 5e = –32
{ 0a + 0b + 4c + 2d + 5e = 16
{ 0a + 0b + 9c + 3d + 10e = 37
Складываем 3 и 4 уравнения.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = –2
{ 0a + 0b – 4c + 2d – 5e = –32
{ 0a + 0b + 0c + 4d + 0e = –16
{ 0a + 0b + 9c + 3d + 10e = 37
Отсюда сразу d = –16/4 = –4. Подставляем во 2 уравнение:
b – 4 = –2
b = 2
Подставляем во все остальные уравнения:
{ a + 2 + c – 4 + e = 2
{ – 4c – 8 – 5e = –32
{ 9c – 12 + 10e = 37
Приводим подобные:
{ a + c + e = 4
{ – 4c – 5e = –24
{ 9c + 10e = 49
2 уравнение умножаем на 2 и складываем 2 и 3 уравнения:
{ a + c + e = 4
{ – 4c – 5e = –24
{ 1c + 0e = 1
c = 1
Подставляем в 3 уравнение:
9·1 + 10e = 49
10e = 40
e = 4
Подставляем в 1 уравнение:
a + 1 + 4 = 4
a = –1
Запишем все полученные коэффициенты:
a = –1; b = 2; c = 1; d = –4; e = 4
Получили многочлен 4 степени:
Ответ: y = –x⁴ + 2x³ + x² – 4x + 4

6. Найти рациональные корни многочлена:
y = x⁴ – 5x³ – 6x² + 7x – 2
Здесь какая–то ошибка, этот многочлен имеет 2 корня, и оба иррациональных:
x1 ≈ –1,65039; x2 ≈ 5,83297
Чтобы это доказать, найдем значения многочлена в нескольких целых точках:
y(–2) = (–2)⁴ – 5(–2)³ – 6(–2)² + 7(–2) – 2 = 16 + 40 – 24 – 14 – 2 = 16 > 0
y(–1) = (–1)⁴ – 5(–1)³ – 6(–1)² + 7(–1) – 2 = 1 + 5 – 6 – 7 – 2 = –9 < 0
Значит, 1 корень находится: –2 < x1 < –1
y(5) = 5⁴ – 5·5³ – 6·5² + 7·5 – 2 = 625 – 625 – 150 + 35 – 2 = –117 < 0
y(6) = 6⁴ – 5·6³ – 6·6² + 7·6 – 2 = 1296 – 1080 – 216 + 42 – 2 = 40 > 0
Значит, 2 корень находится: 5 < x2 < 6
И очевидно, что оба корня – иррациональные.

7) Уравнение в 7–ной системе:
2(7)·x + 201(7) = 360(7)
Переведем его в 10–ную систему:
2(7) = 2; 201(7) = 2·7² + 1 = 2·49 + 1 = 98 + 1 = 99
360(7) = 3·7² + 6·7 + 0 = 3·49 + 42 = 147 + 42 = 189
2x + 99 = 189
2x = 90
x = 45
В 7–ной системе:
x = 45 = 6·7 + 3 = 63(7)
Ответ: x = 63(7) = 45(10)

8) и 10) я не знаю, как решать.

9) Представить дробь 327/134 в виде непрерывной (или цепной) дроби.
Делаем также, как во 2) номере. На 1 этапе выделяем целую часть:
$\frac{327}{134} = \frac{268+59}{134} = 2 + \frac{59}{134} = 2 + \frac{1}{134/59}$

На 2 этапе выделяем целую часть у дроби 134/59:
$\frac{134}{59} = \frac{118+16}{59} = 2 + \frac{16}{59} = 2 + \frac{1}{59/16}$
$\frac{327}{134} = 2 + \frac{1}{2+\frac{1}{59/16}}$

На 3 этапе выделяем целую часть у дроби 59/16:
$\frac{59}{16} = \frac{48+11}{16} = 3 + \frac{11}{16} = 3 + \frac{1}{16/11}$

На 4 этапе выделяем целую часть у дроби 16/11:
$\frac{16}{11} = \frac{11+5}{11} = 1 + \frac{5}{11} = 1 + \frac{1}{11/5}$

На 5 этапе выделяем целую часть у дроби 11/5:
$\frac{11}{5} = \frac{10+1}{5} = 2 + \frac{1}{5}$

На этом цепная дробь заканчивается.
$\Large \frac{327}{134} = 2 + \frac{1}{2+\frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5}}}}}$