Задача 78449 Нужно решить этот вариант...
Условие
Решение
3381x - 5543y = 115
3381x = 115 + 5543y
[m]x = \frac{5543y + 115}{3381} = \frac{3381y + 2162y + 115}{3381} = y + \frac{2162y + 115}{3381}[/m]
Чтобы x было целым, нужно, чтобы число 2162y + 115 делилось на 3381.
2162y + 115 = 3381*k
2162y = 3381*k - 115
При k = 87 получается
y = 136, тогда:
[m]x = y + \frac{2162y + 115}{3381} = 136 + 87 = 223[/m]
Наименьшая положительная пара: (223; 136)
Остальные пары получаются прибавлением и вычитанием 3381 к значению y.
Тогда к x соответственно прибавляется или вычитается 5543.
Ответ: (223 + 5543n; 136 + 3381n), n ∈ Z
2) Число sqrt(377) представить в виде цепной дроби.
Заметим, что 19^2 = 361, 20^2 = 400
19^2 < 377 < 20^2
19 < sqrt(377) < 20
Поэтому на 1 шаге будет:
sqrt(377) = 19 + 1/X
Умножаем всё уравнение на X:
sqrt(377)*X = 19X + 1
X(sqrt(377) - 19) = 1
[m]X = \frac{1}{\sqrt{377} - 19} = \frac{\sqrt{377} + 19}{377 - 19^2} = \frac{\sqrt{377} + 19}{377 - 361} = \frac{\sqrt{377} + 19}{16}[/m]
[m]\frac{1}{X} = \frac{16}{\sqrt{377} + 19}[/m]
[m]\sqrt{377} = 19 + \frac{16}{\sqrt{377} + 19}[/m]
На 2 шаге преобразуем [m]\sqrt{377} + 19[/m] в дробь.
[m]\sqrt{377} + 19 = 38 + \frac{16}{\sqrt{377} + 19}[/m]
И дальше всё по кругу: числа 38 и 16 в числителях повторяются бесконечно.
Ответ: [m]\sqrt{377} = 19 + \frac{16}{38 + \frac{16}{38 + \frac{16}{...}}}[/m]
3) Найти наименьшее натуральное x, удовлетворяющее условиям:
{ x ≡ 32 mod 34
{ x ≡ 15 mod 31
{ x ≡ 1 mod 11
{ x ≡ 3 mod 15
Эти записи означают остатки от деления на разные числа:
{ x = 34*a + 32
{ x = 31*b + 15
{ x = 11*c + 1
{ x = 15*d + 3
Здесь уже не знаки сравнения ≡, а настоящие равенства.
Из 1 уравнения ясно, что x ≥ 66 и что x четное.
Из 3 уравнения ясно, что x - 1 нацело делится на 11.
Из 4 уравнения ясно, что x нацело делится на 3 и x - 3 нацело делится на 15.
Это значит, что x - 3 кончается на 0 или на 5, тогда x кончается на 3 или на 8.
Но, так как мы знаем из 1 уравнения, что x четное, значит, оно кончается на 8.
Значит, x - 1 кончается на 7 и при этом делится на 11.
Нам подходят такие числа больше 66:
x = 78, 408, 738, ...
Прибавляем каждый раз по 11*30 = 330.
Все эти числа удовлетворяют 3 и 4 уравнениям.
Число в общем виде выглядит так:
x = 78 + 330*n
Проверяем x на 1 условие:
78 + 330*n = 34*a + 32
46 + 330*n = 34*a
23 + 165*n = 17*a
[m]a = \frac{165n + 23}{17} = \frac{153n + 17 + 12n + 6}{17} = 9n+1+\frac{12n + 6}{17}[/m]
Чтобы а было целым, 12*n + 6 должно нацело делиться на 17.
Наименьшее такое n = 8, тогда:
a = 9*8 + 1 + (12*8 + 6)/17 = 73 + 102/17 = 73 + 6 = 79
Дальше n идут через 17:
[b]8; 25; 42; 59; 76; 93; 110; 127[/b]
Проверяем x на 2 условие.
78 + 330*n = 31*b + 15
63 + 330*n = 31*b
[m]b = \frac{330n + 63}{31} = \frac{310n + 62 + 20n + 1}{31} = 10n + 2 + \frac{20n + 1}{31}[/m]
Чтобы b было целым, 20*n + 1 должно нацело делиться на 31.
Наименьшее такое n = 17, тогда:
b = 10*17 + 2 + (20*17 + 1)/31 = 172 + 11 = 183
Дальше n идут через 31:
[b]17; 48; 79; 110; 141[/b]
Наименьшее n, совпадающее в обоих рядах:
[b]n = 110[/b]
[b]x = 78 + 330*n = 78 + 330*110 = 36378[/b]
Ответ: 36378
4) Я не знаю, как решать
5) Многочлен p 4 степени выглядит так:
p = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Дано: p(-2) = -16; p(1) = 2; p(-1) = 6; p(2) = 0; p(3) = -26
Составляем систему:
{ a(-2)^4 + b(-2)^3 + c(-2)^2 + d(-2) + e = -16
{ a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = 2
{ a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = 6
{ a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 0
{ a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = -26
Записываем в нормальном виде:
{ 16a - 8b + 4c - 2d + e = -16
{ a + b + c + d + e = 2
{ a - b + c - d + e = 6
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = -26
Переписываем так, чтобы коэффициенты при а возрастали:
{ a + b + c + d + e = 2
{ a - b + c - d + e = 6
{ 16a - 8b + 4c - 2d + e = -16
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = -26
Умножаем 1 уравнение на -1 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -16 и складываем с 3 и с 4 уравнением отдельно.
Умножаем 1 уравнение на -81 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a - 2b + 0c - 2d + 0e = 4
{ 0a - 24b - 12c - 18d - 15e = -48
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = -32
{ 0a - 54b - 72c - 78d - 80e = -188
Замечаем, что 2 и 5 уравнения сокращаются на 2, а 3 уравнение на 3.
Но 2 уравнение мы разделим на -2:
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = -2
{ 0a - 8b - 4c - 6d - 5e = -16
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = -32
{ 0a - 27b - 36c - 39d - 40e = -94
Умножаем 2 уравнение на 8 и складываем с 3 и 4 уравнением отдельно.
Умножаем 2 уравнение на 27 и складываем с 5 уравнением.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = -2
{ 0a + 0b - 4c + 2d - 5e = -32
{ 0a + 0b - 12c - 6d - 15e = -48
{ 0a + 0b - 36c - 12d - 40e = -148
Замечаем, что 4 уравнение сокращается на 3, а 5 уравнение на 4.
Но мы разделим 4 уравнение на -3, а 5 уравнение на -4 соответственно:
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = -2
{ 0a + 0b - 4c + 2d - 5e = -32
{ 0a + 0b + 4c + 2d + 5e = 16
{ 0a + 0b + 9c + 3d + 10e = 37
Складываем 3 и 4 уравнения.
{ a + b + c + d + e = 2
{ 0a + b + 0c + d + 0e = -2
{ 0a + 0b - 4c + 2d - 5e = -32
{ 0a + 0b + 0c + 4d + 0e = -16
{ 0a + 0b + 9c + 3d + 10e = 37
Отсюда сразу [b]d = -16/4 = -4[/b]. Подставляем во 2 уравнение:
b - 4 = -2
[b]b = 2[/b]
Подставляем во все остальные уравнения:
{ a + 2 + c - 4 + e = 2
{ - 4c - 8 - 5e = -32
{ 9c - 12 + 10e = 37
Приводим подобные:
{ a + c + e = 4
{ - 4c - 5e = -24
{ 9c + 10e = 49
2 уравнение умножаем на 2 и складываем 2 и 3 уравнения:
{ a + c + e = 4
{ - 4c - 5e = -24
{ 1c + 0e = 1
[b]c = 1[/b]
Подставляем в 3 уравнение:
9*1 + 10e = 49
10e = 40
[b]e = 4[/b]
Подставляем в 1 уравнение:
a + 1 + 4 = 4
[b]a = -1[/b]
Запишем все полученные коэффициенты:
[b]a = -1; b = 2; c = 1; d = -4; e = 4[/b]
Получили многочлен 4 степени:
Ответ: y = -x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x + 4
6. Найти рациональные корни многочлена:
y = x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 7x - 2
Здесь какая-то ошибка, этот многочлен имеет 2 корня, и оба иррациональных:
x1 ≈ -1,65039; x2 ≈ 5,83297
Чтобы это доказать, найдем значения многочлена в нескольких целых точках:
y(-2) = (-2)^4 - 5(-2)^3 - 6(-2)^2 + 7(-2) - 2 = 16 + 40 - 24 - 14 - 2 = 16 > 0
y(-1) = (-1)^4 - 5(-1)^3 - 6(-1)^2 + 7(-1) - 2 = 1 + 5 - 6 - 7 - 2 = -9 < 0
Значит, 1 корень находится: -2 < x1 < -1
y(5) = 5^4 - 5*5^3 - 6*5^2 + 7*5 - 2 = 625 - 625 - 150 + 35 - 2 = -117 < 0
y(6) = 6^4 - 5*6^3 - 6*6^2 + 7*6 - 2 = 1296 - 1080 - 216 + 42 - 2 = 40 > 0
Значит, 2 корень находится: 5 < x2 < 6
И очевидно, что оба корня - иррациональные.
7) Уравнение в 7-ной системе:
2(7)*x + 201(7) = 360(7)
Переведем его в 10-ную систему:
2(7) = 2; 201(7) = 2*7^2 + 1 = 2*49 + 1 = 98 + 1 = 99
360(7) = 3*7^2 + 6*7 + 0 = 3*49 + 42 = 147 + 42 = 189
2x + 99 = 189
2x = 90
x = 45
В 7-ной системе:
x = 45 = 6*7 + 3 = 63(7)
Ответ: x = 63(7) = 45(10)
8) и 10) я не знаю, как решать.
9) Представить дробь 327/134 в виде непрерывной (или цепной) дроби.
Делаем также, как во 2) номере. На 1 этапе выделяем целую часть:
[m]\frac{327}{134} = \frac{268+59}{134} = 2 + \frac{59}{134} = 2 + \frac{1}{134/59}[/m]
На 2 этапе выделяем целую часть у дроби 134/59:
[m]\frac{134}{59} = \frac{118+16}{59} = 2 + \frac{16}{59} = 2 + \frac{1}{59/16}[/m]
[m]\frac{327}{134} = 2 + \frac{1}{2+\frac{1}{59/16}}[/m]
На 3 этапе выделяем целую часть у дроби 59/16:
[m]\frac{59}{16} = \frac{48+11}{16} = 3 + \frac{11}{16} = 3 + \frac{1}{16/11}[/m]
На 4 этапе выделяем целую часть у дроби 16/11:
[m]\frac{16}{11} = \frac{11+5}{11} = 1 + \frac{5}{11} = 1 + \frac{1}{11/5}[/m]
На 5 этапе выделяем целую часть у дроби 11/5:
[m]\frac{11}{5} = \frac{10+1}{5} = 2 + \frac{1}{5}[/m]
На этом цепная дробь заканчивается.
[m]\Large \frac{327}{134} = 2 + \frac{1}{2+\frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5}}}}}[/m]