Задача 78440 В треугольнике ABC известны координаты...

пон

13 октября 2024 г. в 03:02

В треугольнике ABC известны координаты вершин: A(2, 9), B(–5, 5) и C(–6, 0). Составить уравнение высоты BK и определить острый угол между этой высотой и стороной АВ

Удачник66

13 октября 2024 г. в 06:21

★

A(2; 9), B(–5; 5) и C(–6; 0)
Высота BK падает на сторону AC и перпендикулярна к ней.
Уравнение АС:
[m]\frac{x - 2}{-6 - 2} = \frac{y - 9}{0 - 9}[/m]
[m]\frac{x - 2}{-8} = \frac{y - 9}{-9}[/m]
–9(x – 2) = –8(y – 9)
0 = 9(x – 2) – 8(y – 9)
9x – 18 – 8y + 72 = 0
(AC): 9x – 8y + 54 = 0
Уравнение прямой BK ⊥ AC и проходящей через B(–5; 5):
[m]\frac{x + 5}{-9} = \frac{y - 5}{8}[/m]
8(x + 5) = –9(y – 5)
8(x + 5) + 9(y – 5) = 0
8x + 40 + 9y – 45 = 0
(BK): 8x + 9y – 5 = 0

Уравнение стороны AB:
[m]\frac{x - 2}{-5 - 2} = \frac{y - 9}{5 - 9}[/m]
[m]\frac{x - 2}{-7} = \frac{y - 9}{-4}[/m]
–4(x – 2) = –7(y – 9)
0 = 4(x – 2) – 7(y – 9)
4x – 8 – 7y + 63 = 0
(AB): 4x – 7y + 55 = 0

Косинус угла между (AB) и (BK):
[m]\cos φ = \frac{8 \cdot 4 + 9 \cdot (-7)}{\sqrt{8^2+9^2} \cdot \sqrt{4^2+(-7)^2}} = \frac{32 - 63}{\sqrt{64+81} \cdot \sqrt{16+49}} =[/m]
[m]= \frac{-31}{\sqrt{145} \cdot \sqrt{65}} = -\frac{31}{\sqrt{5 \cdot 29 \cdot 5 \cdot 13}} = -\frac{31}{5 \sqrt{29 \cdot 13}} = -\frac{31}{5 \sqrt{377}}[/m]
Так как косинус получился отрицательный, то это тупой угол между прямыми.
Острый угол можно найти из формулы приведения:
cos (π – a) = –cos a
Поэтому косинус острого угла:
[m]\cos φ = \frac{31}{5 \sqrt{377}}[/m]
φ ≈ 71,3784 ≈ 71° 22' 42,3''