Задача 78407 Известна точка пересечения диагоналей...

6706cd3cbc8c5879e2b8072c

10/9/2024 6:38:10 PM

Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 2,5)
и уравнение одной из его сторон 4x+y-4=0
Найти координаты вершин квадрата и составить уравнени его
диагоналей.

626fab9a354ab65fb2f43abb

10/10/2024 9:18:18 AM

★

Дано: K(2,5; 2,5), сторона квадрата (AB): 4x + y - 4 = 0
Проведем через центр квадрата К прямые, параллельную и перпендикулярную к стороне квадрата:
Параллельная: 4(x - 2,5) + (y - 2,5) = 0
4x - 10 + y - 2,5 = 0
[b]4x + y - 12,5 = 0[/b]
Перпендикулярная: -(x - 2,5) + 4(y - 2,5) = 0
-x + 2,5 + 4y - 10 = 0
[b]-x + 4y - 7,5 = 0[/b]
Найдем точку пересечения перпендикулярных прямых:
{ 4x + y - 4 = 0
{ -x + 4y - 7,5 = 0
Умножаем 2 уравнение на 4:
{ 4x + y - 4 = 0
{ -4x + 16y - 30 = 0
Складываем уравнения:
0x + 17y - 34 = 0
y = 34/17 = 2
Подставляем в уравнение:
4x + 2 - 4 = 0
x = (4 - 2)/4 = 0,5
Это точка [b]L(0,5; 2)[/b]

Найдем точку N на прямой [b]-x + 4y - 7,5 = 0[/b], такую, что |LK| = |KN|
N(2,5 + 2,5 - 0,5; 2,5 + 2,5 - 2)
Получилось [b]N(4,5; 3)[/b]
Проведем через точку N прямую, параллельную AB:
4(x - 4,5) + (y - 3) = 0
4x - 18 + y - 3 = 0
[b](CD): 4x + y - 21 = 0[/b]
Точки L и N - это середины сторон квадрата.

Найдем на прямой [b]4x + y - 12,5 = 0[/b] другие центры сторон: M и P,
такие, что |KL| = |KM| = |KP|
M(2,5 + 3 - 2,5; 2,5 - 4,5 + 2,5)
Получили [b]M(3; 0,5)[/b]
P(2,5 - 3 + 2,5; 2,5 + 4,5 - 2,5)
Получили [b]P(2; 4,5)[/b]

Проводим через эти точки M и P прямые, параллельные [b]-x + 4y - 7,5 = 0[/b]
-(x - 3) + 4(y - 0,5) = 0
-x + 3 + 4y - 2 = 0
[b](BC): -x + 4y + 1 = 0[/b]

-(x - 2) + 4(y - 4,5) = 0
-x + 2 + 4y - 18 = 0
[b](AD): -x + 4y - 16 = 0[/b]
Квадрат показан на рисунке.

Координаты вершин найдем, решая системы:
A: (AB) ∩ (AD)
{ 4x + y - 4 = 0
{ -x + 4y - 16 = 0
Умножаем 2 уравнение на 4:
{ 4x + y - 4 = 0
{ -4x + 16y - 64 = 0
Складываем уравнения:
0x + 17y - 68 = 0
y = 68/17 = 4
Подставляем в уравнение:
4x + 4 - 4 = 0
x = 0
[b]A(0; 4)[/b]
Точно также находим остальные:
[b]B(1; 0); C(5; 1); D(4; 5)[/b]
Уравнения его диагоналей по двум точкам:
[m]\frac{x-0}{5-0} = \frac{y-4}{1-4}[/m]
[m]\frac{x}{5} = \frac{y-4}{-3}[/m]
-3x = 5(y - 4)
0 = 3x + 5y - 20
[b](AC): 3x + 5y - 20 = 0[/b]

[m]\frac{x-1}{4-1} = \frac{y-0}{5-0}[/m]
[m]\frac{x-1}{3} = \frac{y}{5}[/m]
5(x - 1) = 3y
5x - 5 - 3y = 0
[b](BD): 5x - 3y - 5 = 0[/b]

Ответ: [b]A(0; 4); B(1; 0); C(5; 1); D(4; 5)[/b]
[b](AC): 3x + 5y - 20 = 0[/b]
[b](BD): 5x - 3y - 5 = 0[/b]