Задача 78404 Составить уравнение прямой, проходящей...
Условие
Решение
У нас есть точка A(-1; 2) и три прямых:
x + 2y + 1 = 0
x + 2y - 3 = 0
x - y - 6 = 0
Смотрите рисунок.
Во-первых, заметим, что точка А(-1; 2) лежит на прямой x + 2y - 3 = 0:
-1 + 2*2 - 3 = -1 + 4 - 3 = 0
Во-вторых, найдем середину отрезка на прямой x - y - 6 = 0, который заключен между двух параллельных прямых.
Для этого найдем точки пересечения этой прямой с параллельными:
1)
{ x + 2y + 1 = 0
{ x - y - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ x + 2y + 1 = 0
{ 2x - 2y - 12 = 0
И складываем уравнения:
3x - 11 = 0
x = 11/3; y = x - 6 = 11/3 - 18/3 = -7/3
[b]M(11/3; -7/3)[/b]
2)
{ x + 2y - 3 = 0
{ x - y - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ x + 2y - 3 = 0
{ 2x - 2y - 12 = 0
И складываем уравнения:
3x - 15 = 0
x = 15/3 = 5; y = x - 6 = 5 - 6 = -1
[b]N(5; -1)[/b]
Середина этого отрезка MN - точка В, имеет координаты:
[m]B(\frac{11/3+5}{2}; \frac{-7/3-1}{2}) = (\frac{11+15}{6}; \frac{-7-3}{6}) = (\frac{26}{6}; -\frac{10}{6})[/m]
[b]B(13/3; -5/3)[/b]
Составляем уравнение прямой AB по двум точкам A(-1; 2); B(13/3; -5/3):
[m]\frac{x+1}{13/3+1} = \frac{y - 2}{-5/3-2}[/m]
[m]\frac{x+1}{16/3} = \frac{y - 2}{-11/3}[/m]
Умножаем знаменатели на 3:
[m]\frac{x+1}{16} = \frac{y - 2}{-11}[/m]
-11(x + 1) = 16(y - 2)
-11x - 11 = 16y - 32
0 = 11x + 16y - 32 + 11
Уравнение прямой AB:
[b]11x + 16y - 21 = 0[/b]
Эта прямая показана на рисунке рыжим цветом.
С прямой x + 2y + 1 = 0 она пересечётся в точке С, найдем ее координаты:
{ 11x + 16y - 21 = 0
{ x + 2y + 1 = 0
Умножаем 2 уравнение на -8:
{ 11x + 16y - 21 = 0
{ -8x - 16y - 8 = 0
Складываем уравнения:
3x - 29 = 0
x = 29/3
2y = -x - 1 = -29/3 - 1 = -32/3
y = -16/3
C(29/3; -16/3)
Середина отрезка AC:
[m](\frac{29/3-1}{2}; \frac{-16/3+2}{3}) = (\frac{26}{6}; \frac{-10}{6}) = (\frac{13}{3}; -\frac{5}{3})[/m]
Как видим, она совпадает с точкой B. Значит, всё решено правильно.
Ответ: 11x + 16y - 21 = 0
