Задача 78384 Дробно-линейная функция задана...

Defo

5 октября 2024 г. в 03:59

Дробно–линейная функция задана уравнением: ()=(ax+3)/(2x+d).Асимптоты функции имеют уравнения х=2,5, у 1,5. Найдите значение переменных.
б) Используя результаты предыдущего действия: i)приведите функцию f(x)=ax+3/2x+b к виду у=n+k/x+m;
ii) найдите точки пересечения функции с осями координат;

Удачник66

12 октября 2024 г. в 09:09

★

Ну вот, теперь все понятно!
3. Функция: $f(x) = \frac{ax+3}{2x+d}$
Асимптоты: x = 2,5; y = 1,5
Привести функцию к виду: $y = n + \frac{k}{x+m}$
Решение.
Если вертикальная асимптота x = 2,5, то в знаменателе должно быть:
x – 2,5 = 0,5·(2x – 5)
То есть в знаменателе (2x – 5), коэффициент 0,5 здесь не важен.
d = –5
Если горизонтальная асимптота y = 1,5, то должно быть:
$\frac{ax}{2x} = \frac{a}{2} = 1,5 = \frac{3}{2}$
a = 3
Функция: $f(x) = \frac{3x+3}{2x-5}$
График этой функции на рисунке. Асимптоты показаны зелёными линиями.

Приводим функцию к виду: $y = n + \frac{k}{x+m}$
$y = \frac{3x+3}{2x-5} = \frac{3/2*(2x-5)+5 \cdot 3/2 +3}{2x-5} = \frac{3}{2} + \frac{15/2+3}{2x-5} = \frac{3}{2} + \frac{21/2}{2x-5}$
$y = \frac{3}{2} + \frac{21/4}{x-5/2}$
n = 3/2; k = 21/4; m = –5/2

4. Построить обратную функцию к полученной функции
$y = \frac{3x+3}{2x-5}$
Построить обратную функцию – это значит выразить x через y.
Выразим функцию, как нам было задано, в виде:
$y = \frac{3}{2} + \frac{21/4}{x-5/2}$
$y - \frac{3}{2} = \frac{21/4}{x-5/2}$
$x - \frac{5}{2} = \frac{21/4}{y - 3/2}$
$x = \frac{5}{2} + \frac{21/4}{y - 3/2} = \frac{5(y-3/2) + 2 \cdot 21/4}{2(y-3/2)} = \frac{5y-15/2 + 21/2}{2y-3}$
$x = \frac{5y + 3}{2y-3}$