Задача 78374 Знайти значення параметра a, при якому...
Условие
Найти значение параметра a, при котором система линейных алгебраических уравнений будет совместима и определена; совместимым не определенным; несовместимой:
Решение
{ (a + 3)*x1 + a*x2 = 32
Нужно сделать так, чтобы коэффициенты при одной переменной были одинаковы по модулю, но разные по знаку.
Можно умножить 1 уравнение на (a+3), а 2 уравнение на -(a+1):
{ (a + 1)(a + 3)*x1 + 2(a + 3)*x2 = 2(a + 3)
{ -(a + 1)(a + 3)*x1 - a(a + 1)*x2 = -32(a + 1)
И складываем эти уравнения:
0*x1 + (2a + 6 - a^2 - a)*x2 = 2a + 6 - 32a - 32
(-a^2 + a + 6)*x2 = -30a - 26
Умножаем обе части на -1:
(a^2 - a - 6)*x2 = 30a + 26
Система будет несовместной, если она не имеет решений.
Это будет, когда левая часть равна 0, а правая нет.
a^2 - a - 6 = 0
(a - 3)(a + 2) = 0
[b]a1 = -2; a2 = 3[/b]
При этих значениях а система несовместна.
Система будет совместной и неопределенной, если она имеет больше 1 решения.
Это будет, когда и левая и правая части равны 0.
{ a^2 - a - 6 = 0
{ 30a + 26 = 0
Решаем:
{ (a - 3)(a + 2) = 0
{ 2(15a + 13) = 0
Получаем:
{ a1 = -2; a2 = 3
{ a = -13/15
Корни уравнений не равны, система не будет неопределенной ни при каких а.
При всех остальных значениях а система совместна и определена.
При а = -1 получится:
{ 0*x1 + 2*x2 = 2
{ 2*x1 - x2 = 32
x2 = 1; x1 = 33/2
При а = -3 получится:
{ -2*x1 + 2*x2 = 2
{ 0*x1 - 3*x2 = 32
x2 = -32/3; x1 = (2 + 64/3) : (-2) = -(1 + 32/3) = -35/3
[b]x2 = -32/3; x1 = -35/3[/b]
При всех остальных значения а будет:
[m]x2 = \frac{30a + 26}{a^2 - a - 6}[/m]
[m]x1 = \frac{2 - 2 \cdot x2}{a + 1} = (2 - \frac{60a + 52}{a^2-a-6}) : (a + 1) = [/m]
[m]= \frac{2a^2-2a-12-60a-52}{(a^2-a-6)(a+1)} = \frac{2a^2-62a-64}{(a^2-a-6)(a+1)} = \frac{(a+1)(2a-64)}{(a^2-a-6)(a+1)} = \frac{2a-64}{a^2-a-6}[/m]
[m]x1 = \frac{32 - a \cdot x2}{a + 3} = (32 - \frac{30a^2 + 26a}{a^2-a-6}) : (a + 3) = [/m]
[m]= \frac{32a^2-32a-192-30a^2-26a}{(a^2-a-6)(a+3)} = \frac{2a^2-58a-192}{(a^2-a-6)(a+3)} = \frac{(a+3)(2a-64)}{(a^2-a-6)(a+3)} = \frac{2a-64}{a^2-a-6}[/m]
Эти значения x1, вычисленные по-разному, оказались одинаковы.
Это значит, что система решена верно.
[b]x1 = (2a - 64)/(a^2 - a - 6); x2 = (30a + 26)/(a^2 - a - 6)[/b]
Ответ: 1) При a1 = -2; a2 = 3 система несовместна.
2) Нет никаких значений а, при которых система совместна, но не определена.
3) При a ≠ -2; a ≠ 3 система совместна и определена.