Задача 78354 Реши уравнение...

Кирилл_487748002

2 октября 2024 г. в 09:30

Реши уравнение

Удачник66

2 октября 2024 г. в 08:23

★

Я нашел метод решения таких задач.
$y'' = -\frac{1}{2y^3}; \ \ y(0) = \frac{1}{2}; \ \ y'(0) = \sqrt{2}$
Сначала решаем уравнение в общем виде.
Это нелинейное дифференциальное уравнение 2 порядка.
Используем метод понижения порядка. Замена:
y' = u(y), но y = y(x), поэтому y''(x) = u'(y)·u(y) = u·du/dy
$\frac{u \cdot du}{dy} = -\frac{1}{2y^3}$
Это уравнение с разделяющимися переменными:
$u \cdot du = -\frac{dy}{2y^3}$
Берем интегралы от левой и от правой части.
$\int u \cdot du = \frac{u^2}{2}$
$-\int \frac{dy}{2y^3} = -\frac{1}{2} \int y^{-3} dy = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y^{-2}}{-2} + C1 = \frac{1}{4y^2} + C1$
Получили уравнение:
$\frac{u^2}{2} = \frac{1}{4y^2} + C1$
$u^2 = \frac{1}{2y^2} + 2C1$
Делаем обратную замену: u = y'. Получаем уравнение 1 порядка:
$y'^2 = \frac{1}{2y^2} + 2C1$
Умножаем на y²:
$y'^2 \cdot y^2 = 2C1y^2 + \frac{1}{2}$
Новая подстановка: y² = v, отсюда v' = 2yy', тогда $y' = \frac{v'}{2y}$
$\frac{v'^2}{4y^2} \cdot y^2 = 2C1v + \frac{1}{2}$
Сокращаем y² слева:
$\frac{v'^2}{4} = 2C1 \cdot v + \frac{1}{2}$
Умножаем на 4:
$v'^2 = 8C1 \cdot v + 2$
Представим уравнение в виде v = f(v', x)
$v = \frac{v'^2 - 2}{8C1} = \frac{v'^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}$
Вводим переменную p = v' = dv/dx, тогда dv = p dx
$v = \frac{p^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}$
Берем полный дифференциал от обеих частей:
$dv = \frac{2p\ dp}{8C1} = \frac{p\ dp}{4C1}$
$p\ dx = \frac{p\ dp}{4C1}$
$dx = \frac{dp}{4C1}$
Берем интегралы от обеих частей:
$\int dx = \int \frac{dp}{4C1}$
$x = \frac{p}{4C1} + C2$
$p = 4C1(x - C2)$
Подставляем в это уравнение:
$v = \frac{p^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}$
Получаем:
$v = \frac{16C1^2(x - C2)^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}$
$v = \frac{8C1^2(x - C2)^2 - 1}{4C1}$
Обратная замена v = y²:
$y^2 = \frac{8C1^2(x - C2)^2 - 1}{4C1}$
Это общее решение диф. уравнения, хотя и в неявном виде.
Возьмем производную от функции в неявном виде:
$2yy' = \frac{8C1^2 \cdot 2(x - C2)}{4C1} = 4C1(x - C2)$
$y' = \frac{2C1(x - C2)}{y}$
Теперь подставляем начальные условия:
$y(0) = \frac{1}{2}; \ \ y'(0) = \sqrt{2}$
Подставляем y(0):
$\frac{8C1^2(-C2)^2 - 1}{4C1} = \frac{1}{4}$
$8C1^2 \cdot C2^2 - 1 = C1$
Подставляем y'(0):
$\frac{2C1(- C2)}{1/2} = \sqrt{2}$
$C1 \cdot C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Получили систему:
{ $8C1^2 \cdot C2^2 = C1 + 1$
{ $C1 \cdot C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение:
$8 \cdot \frac{2}{16} = C1 + 1$
$C1 = -\frac{1}{2}$
$C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4} : C1 = -\frac{\sqrt{2}}{4} : (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Частное решение диф. уравнения:
$y^2 = \frac{8/4(x - \sqrt{2}/2)^2 - 1}{-2} = -\frac{2(x - \sqrt{2}/2)^2 - 1}{2} = 1 - (x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2$