Задача 78354 Реши уравнение...
Условие
Решение
[m]y'' = -\frac{1}{2y^3}; \ \ y(0) = \frac{1}{2}; \ \ y'(0) = \sqrt{2}[/m]
Сначала решаем уравнение в общем виде.
Это нелинейное дифференциальное уравнение 2 порядка.
Используем метод понижения порядка. Замена:
y' = u(y), но y = y(x), поэтому y''(x) = u'(y)*u(y) = u*du/dy
[m]\frac{u \cdot du}{dy} = -\frac{1}{2y^3}[/m]
Это уравнение с разделяющимися переменными:
[m]u \cdot du = -\frac{dy}{2y^3}[/m]
Берем интегралы от левой и от правой части.
[m]\int u \cdot du = \frac{u^2}{2}[/m]
[m]-\int \frac{dy}{2y^3} = -\frac{1}{2} \int y^{-3} dy = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y^{-2}}{-2} + C1 = \frac{1}{4y^2} + C1[/m]
Получили уравнение:
[m]\frac{u^2}{2} = \frac{1}{4y^2} + C1[/m]
[m]u^2 = \frac{1}{2y^2} + 2C1[/m]
Делаем обратную замену: u = y'. Получаем уравнение 1 порядка:
[m]y'^2 = \frac{1}{2y^2} + 2C1[/m]
Умножаем на y^2:
[m]y'^2 \cdot y^2 = 2C1y^2 + \frac{1}{2}[/m]
Новая подстановка: y^2 = v, отсюда v' = 2yy', тогда [m]y' = \frac{v'}{2y}[/m]
[m]\frac{v'^2}{4y^2} \cdot y^2 = 2C1v + \frac{1}{2}[/m]
Сокращаем y^2 слева:
[m]\frac{v'^2}{4} = 2C1 \cdot v + \frac{1}{2}[/m]
Умножаем на 4:
[m]v'^2 = 8C1 \cdot v + 2[/m]
Представим уравнение в виде v = f(v', x)
[m]v = \frac{v'^2 - 2}{8C1} = \frac{v'^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}[/m]
Вводим переменную p = v' = dv/dx, тогда dv = p dx
[m]v = \frac{p^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}[/m]
Берем полный дифференциал от обеих частей:
[m]dv = \frac{2p\ dp}{8C1} = \frac{p\ dp}{4C1}[/m]
[m]p\ dx = \frac{p\ dp}{4C1}[/m]
[m]dx = \frac{dp}{4C1}[/m]
Берем интегралы от обеих частей:
[m]\int dx = \int \frac{dp}{4C1}[/m]
[m]x = \frac{p}{4C1} + C2[/m]
[m]p = 4C1(x - C2)[/m]
Подставляем в это уравнение:
[m]v = \frac{p^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}[/m]
Получаем:
[m]v = \frac{16C1^2(x - C2)^2}{8C1} - \frac{1}{4C1}[/m]
[m]v = \frac{8C1^2(x - C2)^2 - 1}{4C1}[/m]
Обратная замена v = y^2:
[m]y^2 = \frac{8C1^2(x - C2)^2 - 1}{4C1}[/m]
Это общее решение диф. уравнения, хотя и в неявном виде.
Возьмем производную от функции в неявном виде:
[m]2yy' = \frac{8C1^2 \cdot 2(x - C2)}{4C1} = 4C1(x - C2)[/m]
[m]y' = \frac{2C1(x - C2)}{y}[/m]
Теперь подставляем начальные условия:
[m]y(0) = \frac{1}{2}; \ \ y'(0) = \sqrt{2}[/m]
Подставляем y(0):
[m]\frac{8C1^2(-C2)^2 - 1}{4C1} = \frac{1}{4}[/m]
[m]8C1^2 \cdot C2^2 - 1 = C1[/m]
Подставляем y'(0):
[m]\frac{2C1(- C2)}{1/2} = \sqrt{2}[/m]
[m]C1 \cdot C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]
Получили систему:
{ [m]8C1^2 \cdot C2^2 = C1 + 1[/m]
{ [m]C1 \cdot C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение:
[m]8 \cdot \frac{2}{16} = C1 + 1[/m]
[m]C1 = -\frac{1}{2}[/m]
[m]C2 = -\frac{\sqrt{2}}{4} : C1 = -\frac{\sqrt{2}}{4} : (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
Частное решение диф. уравнения:
[m]y^2 = \frac{8/4(x - \sqrt{2}/2)^2 - 1}{-2} = -\frac{2(x - \sqrt{2}/2)^2 - 1}{2} = 1 - (x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2[/m]