Задача 78347 [b]Нужно решить[/b]...
Условие
Решение
[m]\frac{6}{5} = 1 : \frac{5}{6} = (\frac{5}{6})^{-1}[/m], поэтому:
[m](\frac{5}{6})^{x^2} ≥ (\frac{5}{6})^{5-4x}[/m]
Так как 5/6 ∈ (0; 1), то функция [m]y = (\frac{5}{6})^{x}[/m] - убывающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства меняется.
[m]x^2 ≤ 5 - 4x[/m]
[m]x^2 + 4x - 5 ≤ 0[/m]
[m](x + 5)(x - 1) ≤ 0[/m]
Ответ: x ∈ [-5; 1]
2) [m]2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} ≤ 5[/m]
Выносим за скобки 2^(x-1)
[m]2^{x-1}(2^3-2^2+1) ≤ 5[/m]
[m]2^{x-1}(8-4+1) ≤ 5[/m]
[m]2^{x-1} \cdot 5 ≤ 5[/m]
Сокращаем на 5:
[m]2^{x-1} ≤ 1[/m]
[m]2^{x-1} ≤ 2^0[/m]
Так как 2 > 1, то функция [m]y = 2^{x}[/m] - возрастающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства остается.
x - 1 ≤ 0
Ответ: x ∈ (-oo; 1]
3) [m]36^{x+0,5} + 5 \cdot 6^{x} - 1 ≥ 0[/m]
[m]36^{x} \cdot 36^{0,5} + 5 \cdot 6^{x} - 1 ≥ 0[/m]
[m]6 \cdot 6^{2x} + 5 \cdot 6^{x} - 1 ≥ 0[/m]
Замена [m]t = 6^{x}[/m]
[m]6t^2 + 5t - 1 ≥ 0[/m]
[m](t + 1)(6t - 1) ≥ 0[/m]
Возвращаемся к переменной x:
[m](6^{x} + 1)(6 \cdot 6^{x} - 1) ≥ 0[/m]
Так как [m]6^{x} + 1 > 0[/m] при любом x, 1 скобку можно сократить:
[m]6 \cdot 6^{x} - 1 ≥ 0[/m]
[m] 6^{x} ≥ \frac{1}{6}[/m]
[m] 6^{x} ≥ 6^{-1}[/m]
Так как 6 > 1, то функция [m]y = 6^{x}[/m] - возрастающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства остается.
x ≥ -1
Ответ: x ∈ [-1; +oo)
4) [m]8 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^{x} + 2 ≤ 0[/m]
Замена [m]t = 0,5^{x}[/m]
[m]8t^2 - 17t + 2 ≤ 0[/m]
[m]D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2[/m]
[m]t1 = \frac{17-15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}[/m]
[m]t1 = \frac{17+15}{16} = \frac{32}{16} = 2[/m]
[m](t - 2)(8t - 1) ≤ 0[/m]
Возвращаемся к переменной x:
[m](0,5^{x} - 2)(8 \cdot 0,5^{x} - 1) ≤ 0[/m]
[m](\frac{1}{2})^{x} ∈ [\frac{1}{8}; 2][/m]
Так как [m]2 = (\frac{1}{2})^{-1};\ \ \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3[/m], то:
Ответ: x ∈ [-1; 3]
5) [m]\frac{0,3^{x} - 0,0081}{7 - x} ≥ 0[/m]
Если дробь ≥ 0, то числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.
Возможны 2 варианта:
а)
{ [m]0,3^{x} - 0,0081 ≤ 0[/m]
{ [m]7 - x < 0[/m]
Решаем:
{ [m]0,3^{x} ≤ 0,3^4[/m]
{ [m]x > 7[/m]
Так как 0,3 ∈ (0; 1), то функция [m]y = 0,3^{x}[/m] - убывающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства меняется.
{ x ≥ 4
{ x > 7
x ∈ (7; +oo)
б)
{ [m]0,3^{x} - 0,0081 ≥ 0[/m]
{ [m]7 - x > 0[/m]
Решаем:
{ [m]0,3^{x} ≥ 0,3^4[/m]
{ [m]x < 7[/m]
Так как 0,3 ∈ (0; 1), то функция [m]y = 0,3^{x}[/m] - убывающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства меняется.
{ x ≤ 4
{ x < 7
x ∈ (-oo; 4]
Ответ: x ∈ (-oo; 4] U (7; +oo)
6) [m](3^{x} - 1) \sqrt{x + 2} ≥ 0[/m]
Область определения для корня: x ∈ [-2; +oo)
x1 = -2 - подходит, при этом произведение равно 0.
Если x > -2, то [m]\sqrt{x + 2} > 0[/m] и его можно сократить:
[m]3^{x} - 1 ≥ 0[/m]
[m]3^{x} ≥ 3^0[/m]
Так как 3 > 1, то функция [m]y = 3^{x}[/m] - возрастающая.
Значит, при переходе к показателям степеней знак неравенства остается.
x ≥ 0
Ответ: x ∈ {-2} U [0; +oo)