Задача 78344 Даны точки ......... Найти площадь...
Условие
Решение
Площадь треугольника можно найти через определители.
[m]S = \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix}
1 & x1 & y1 \\
1 & x2 & y2 \\
1 & x3 & y3 \\
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
1 & x1 & z1 \\
1 & x2 & z2 \\
1 & x3 & z3 \\
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
1 & y1 & z1 \\
1 & y2 & z2 \\
1 & y3 & z3 \\
\end{vmatrix}^2} = [/m]
[m]= \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & 5 & -6 \\
1 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 5 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
1 & -6 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix}^2} = [/m]
Решим каждый определитель отдельно:
[m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & 5 & -6 \\
1 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*5*3 + 1*1(-1) + 1*1(-6) - (-1)*5*1 - 1*1*3 - 1*1(-6) =
= 15 - 1 - 6 + 5 - 3 + 6 = 16
[m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 5 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*5*1 + 1*1*2 + 1*1*2 - 2*5*1 - 1*1*1 - 1*1*2 =
= 5 + 2 + 2 - 10 - 1 - 2 = -4
[m]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
1 & -6 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1(-6)*1 + 1*3*2 + 1(-1)*2 - 2(-6)*1 - 1*2*3 - 1*1(-1) =
= -6 + 6 - 2 + 12 - 6 + 1 = 5
Площадь треугольника:
[m]S = \frac{1}{2} \sqrt{16^2 + (-4)^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{256 + 16 + 25} = \frac{1}{2} \sqrt{297}[/m]
Ответ: S = sqrt(297)/2