Задача 78344 Даны точки ......... Найти площадь...

USTAl

29 сентября 2024 г. в 04:17

Даны точки ......... Найти площадь треугольника ABC.

Удачник66

29 сентября 2024 г. в 06:40

★

A(1; –1; 2); B(5; –6; 2); C(1; 3; 1)
Площадь треугольника можно найти через определители.
$S = \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 1 & x1 & y1 \\ 1 & x2 & y2 \\ 1 & x3 & y3 \\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 1 & x1 & z1 \\ 1 & x2 & z2 \\ 1 & x3 & z3 \\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 1 & y1 & z1 \\ 1 & y2 & z2 \\ 1 & y3 & z3 \\ \end{vmatrix}^2} =$
$= \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & -6 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix}^2} =$
Решим каждый определитель отдельно:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{vmatrix} =$
= 1·5·3 + 1·1(–1) + 1·1(–6) – (–1)·5·1 – 1·1·3 – 1·1(–6) =
= 15 – 1 – 6 + 5 – 3 + 6 = 16

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} =$
= 1·5·1 + 1·1·2 + 1·1·2 – 2·5·1 – 1·1·1 – 1·1·2 =
= 5 + 2 + 2 – 10 – 1 – 2 = –4

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & -6 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} =$
= 1(–6)·1 + 1·3·2 + 1(–1)·2 – 2(–6)·1 – 1·2·3 – 1·1(–1) =
= –6 + 6 – 2 + 12 – 6 + 1 = 5

Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \sqrt{16^2 + (-4)^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{256 + 16 + 25} = \frac{1}{2} \sqrt{297}$

Ответ: S = √297/2