Задача 78342 Определить и записать структуру частного...

661ff4d1756ce92446cd720c

9/29/2024 11:24:16 AM

Определить и записать структуру частного решения y* линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x)
[m]y''-2y'+2y=f\left(x\right)[/m]
a) [m]f\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{4x}[/m]
б) [m]f\left(x\right)=e^x\sin x[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/29/2024 12:29:50 PM

★

y'' - 2y' + 2y = f(x)
Это ЛНДУ (линейное неоднородное дифференциальное уравнение)
2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решим сначала соответствующее однородное уравнение (ЛОДУ):
y'' - 2y' + 2y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 2k + 2 = 0
D/4 = (-1)^2 - 1*2 = 1 - 2 = -1 = i^2
k1 = 1 - i; k2 = 1 + i
Решение однородного уравнения:
y(o) = e^(x)*(C1*cos x + C2*sin x)

а) y'' - 2y' + 2y = (2x - 3)*e^(4x)
Так как правая часть не имеет ничего общего с решением ЛОДУ, то
частное решение ЛНДУ будет иметь вид:
y(н) = (Ax + B)*e^(4x)

б) y''-2y'+2y = e^(x)*sin x
Так как правая часть имеет такую же структуру, как решение ЛОДУ, то
частное решение ЛНДУ будет иметь вид:
y(н) = x*e^(x)*(A*cos x + B*sin x)