Задача 78342 Определить и записать структуру частного...

661ff4d1756ce92446cd720c

29 сентября 2024 г. в 11:24

Определить и записать структуру частного решения y· линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x)
[m]y''-2y'+2y=f\left(x\right)[/m]
a) [m]f\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{4x}[/m]
б) [m]f\left(x\right)=e^x\sin x[/m]

Удачник66

29 сентября 2024 г. в 12:29

★

y'' – 2y' + 2y = f(x)
Это ЛНДУ (линейное неоднородное дифференциальное уравнение)
2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решим сначала соответствующее однородное уравнение (ЛОДУ):
y'' – 2y' + 2y = 0
Характеристическое уравнение:
k² – 2k + 2 = 0
D/4 = (–1)² – 1·2 = 1 – 2 = –1 = i²
k1 = 1 – i; k2 = 1 + i
Решение однородного уравнения:
y(o) = e^x·(C1·cos x + C2·sin x)

а) y'' – 2y' + 2y = (2x – 3)·e^4x
Так как правая часть не имеет ничего общего с решением ЛОДУ, то
частное решение ЛНДУ будет иметь вид:
y(н) = (Ax + B)·e^4x

б) y''–2y'+2y = e^x·sin x
Так как правая часть имеет такую же структуру, как решение ЛОДУ, то
частное решение ЛНДУ будет иметь вид:
y(н) = x·e^x·(A·cos x + B·sin x)