О-центр вписанной окружности, О1-центр описанной окружности.
Пусть радиус вписанной окружности - r, радиус описанной окружности - R.
СН-высота трапеции,
СН=2*r
HD=(AD-BC)/2=(8-2)/2=3
Из △СНD по теореме Пифагора:
CH=sqrt(5^2-3^2)=sqrt(25-9)=sqrt(16)=4
⇒r=CH/2=4/2=2
OE=r=2
Найдем R из △ACD:
R=(AC*CD*AD)/(4*S(ACD))
Из △АСН:
АН=AD-HD=8-3=5
По теореме Пифагора:
АС=sqrt(4^2+5^2)=sqrt(16+25)=sqrt(41)
S(ACD)=1/2*AD*CH=1/2*8*4=16
R=(sqrt(41)*5*8)/(4*16)=(40*sqrt(41))/64=(5*sqrt(41))/8
Из △О1ЕD:
ED=1/2*AD=1/2*8=4
По теореме Пифагора:
О1Е=sqrt(((5*sqrt(41))/8)^2-4^2)=sqrt((25*41)/64-16)=sqrt((25*41-16*64)/64)=1/8*1=1/8
OO1=OE-O1E=2-1/8=15/8
Ответ: 15/8