Задача 78304 Найти общее решение дифференциального...

Слава Нечипоренко

26 сентября 2024 г. в 04:11

Найти общее решение дифференциального уравнения
$y''-4y=\left(-24x-10\right)e^{2x}$
Ответ должен получится:
$y=C1\cos 2x+C2\sin 2x-\left(3x^2+x\right)e^{2x}$

Удачник66

26 сентября 2024 г. в 05:01

★

y'' – 4y = (–24x – 10)·e^2x
Вы ошиблись с общей частью.
Я проверил, этот ответ не подходит к этому уравнению.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ)
2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем ЛОДУ (однородное уравнение):
y'' – 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k² – 4 = 0
k1 = –2; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1·e^–2x + C2·e^2x

Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как справа стоит e^2x, и в решении ЛОДУ тоже есть e^2x, то:
y(н) = x·(Ax + B)·e^2x = (Ax² + Bx)·e^2x
y'(н) = (2Ax + B)·e^2x + (Ax² + Bx)·e^2x·2 = (2Ax + B + 2Ax² + 2Bx)·e^2x
y'(н) = (2Ax² + 2Ax + 2Bx + B)·e^2x
y''(н) = (4Ax + 2A + 2B)·e^2x + (2Ax² + 2Ax + 2Bx + B)·e^2x·2
y''(н) = (4Ax² + 8Ax + 4Bx + 2A + 4B)·e^2x

Подставляем в наше уравнение:
(4Ax² + 8Ax + 4Bx + 2A + 4B)·e^2x – 4(Ax² + Bx)·e^2x = (–24x – 10)·e^2x
Приводим подобные и сокращаем e^2x:
8Ax + 2A + 4B = –24x – 10
Составляем систему по степеням икса:
{ 8A = –24
{ 2A + 4B = –10
Решаем:
{ A = –24/8 = –3
{ 2(–3) + 4B = –10
Получаем:
{ A = –3
{ B = –1
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = (Ax² + Bx)·e^2x = (–3x² – x)·e^2x
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1·e^–2x + C2·e^2x – (3x² + x)·e^2x