Задача 78304 Найти общее решение дифференциального...

661ff4d1756ce92446cd720c

9/26/2024 4:11:10 PM

Найти общее решение дифференциального уравнения
[m]y''-4y=\left(-24x-10\right)e^{2x}[/m]
Ответ должен получится:
[m]y=C1\cos 2x+C2\sin 2x-\left(3x^2+x\right)e^{2x}[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/26/2024 5:01:05 PM

★

y'' - 4y = (-24x - 10)*e^(2x)
Вы ошиблись с общей частью.
Я проверил, этот ответ не подходит к этому уравнению.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ)
2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем ЛОДУ (однородное уравнение):
y'' - 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4 = 0
k1 = -2; k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = C1*e^(-2x) + C2*e^(2x)

Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как справа стоит e^(2x), и в решении ЛОДУ тоже есть e^(2x), то:
y(н) = x*(Ax + B)*e^(2x) = (Ax^2 + Bx)*e^(2x)
y'(н) = (2Ax + B)*e^(2x) + (Ax^2 + Bx)*e^(2x)*2 = (2Ax + B + 2Ax^2 + 2Bx)*e^(2x)
y'(н) = (2Ax^2 + 2Ax + 2Bx + B)*e^(2x)
y''(н) = (4Ax + 2A + 2B)*e^(2x) + (2Ax^2 + 2Ax + 2Bx + B)*e^(2x)*2
y''(н) = (4Ax^2 + 8Ax + 4Bx + 2A + 4B)*e^(2x)

Подставляем в наше уравнение:
(4Ax^2 + 8Ax + 4Bx + 2A + 4B)*e^(2x) - 4(Ax^2 + Bx)*e^(2x) = (-24x - 10)*e^(2x)
Приводим подобные и сокращаем e^(2x):
8Ax + 2A + 4B = -24x - 10
Составляем систему по степеням икса:
{ 8A = -24
{ 2A + 4B = -10
Решаем:
{ A = -24/8 = -3
{ 2(-3) + 4B = -10
Получаем:
{ A = -3
{ B = -1
Частное решение неоднородного уравнения:
y(н) = (Ax^2 + Bx)*e^(2x) = (-3x^2 - x)*e^(2x)
Общее решение неоднородного уравнения:
y = y(о) + y(н) = C1*e^(-2x) + C2*e^(2x) - (3x^2 + x)*e^(2x)