Задача 78303 ...

Слава Нечипоренко

26 сентября 2024 г. в 04:07

Найти общее решение дифференциального уравнения
$y ′′ +6y ′ +13y=−75sin2x$
Ответ должен получиться:
$y=e^{-3x}\left(C1\cos 2x+C2\sin 2x\right)+4\cos 2x-3\sin 2x$

Удачник66

26 сентября 2024 г. в 05:27

★

y'' + 6y' + 13y = –75sin 2x
ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем ЛОДУ
y'' + 6y' + 13y = 0
Характеристическое уравнение:
k² + 6k + 13 = 0
D = 6² – 4·1·13 = 36 – 52 = –16 = (4i)²
k1 = (–6 – 4i)/2 = –3 – 2i; k2 = –3 + 2i
Решение ЛОДУ:
y(о) = e^–3x·(C1·cos 2x + C2·sin 2x)
Находим частное решение ЛНДУ:
y(н) = A·cos 2x + B·sin 2x
y'(н) = –2A·sin 2x + 2B·cos 2x
y''(н) = –4A·cos 2x – 4B·sin 2x
Подставляем в наше уравнение:
–4A·cos 2x–4B·sin 2x+6(–2A·sin 2x+2B·cos 2x)+13(A·cos 2x+B·sin 2x) = –75sin 2x
(–4A + 12B + 13A)·cos 2x + (–4B – 12A + 13B)·sin 2x = –75sin 2x
(9A + 12B)·cos 2x + (–12A + 9B)·sin 2x = –75sin 2x
Составляем систему по коэффициентам:
{ 9A + 12B = 0
{ –12A + 9B = –75
Делим на 3 1 уравнение:
{ 3A + 4B = 0
{ –12A + 9B = –75
Умножаем 1 уравнение на 4:
{ 12A + 16B = 0
{ –12A + 9B = –75
Складываем уравнения:
0A + 25B = –75
B = –3
3A + 4(–3) = 0
3A – 12 = 0
A = 4
Частное решение ЛНДУ:
y(н) = 4cos 2x – 3sin 2x
Общее решение ЛНДУ:
y = y(о) + y(н) = e^–3x·(C1·cos 2x + C2·sin 2x) + 4cos 2x – 3sin 2x