Задача 78303 ...

661ff4d1756ce92446cd720c

9/26/2024 4:07:29 PM

Найти общее решение дифференциального уравнения
[m]y
′′
+6y
′
+13y=−75sin2x[/m]
Ответ должен получиться:
[m]y=e^{-3x}\left(C1\cos 2x+C2\sin 2x\right)+4\cos 2x-3\sin 2x[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/26/2024 5:27:50 PM

★

y'' + 6y' + 13y = -75sin 2x
ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем ЛОДУ
y'' + 6y' + 13y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 6k + 13 = 0
D = 6^2 - 4*1*13 = 36 - 52 = -16 = (4i)^2
k1 = (-6 - 4i)/2 = -3 - 2i; k2 = -3 + 2i
Решение ЛОДУ:
y(о) = e^(-3x)*(C1*cos 2x + C2*sin 2x)
Находим частное решение ЛНДУ:
y(н) = A*cos 2x + B*sin 2x
y'(н) = -2A*sin 2x + 2B*cos 2x
y''(н) = -4A*cos 2x - 4B*sin 2x
Подставляем в наше уравнение:
-4A*cos 2x-4B*sin 2x+6(-2A*sin 2x+2B*cos 2x)+13(A*cos 2x+B*sin 2x) = -75sin 2x
(-4A + 12B + 13A)*cos 2x + (-4B - 12A + 13B)*sin 2x = -75sin 2x
(9A + 12B)*cos 2x + (-12A + 9B)*sin 2x = -75sin 2x
Составляем систему по коэффициентам:
{ 9A + 12B = 0
{ -12A + 9B = -75
Делим на 3 1 уравнение:
{ 3A + 4B = 0
{ -12A + 9B = -75
Умножаем 1 уравнение на 4:
{ 12A + 16B = 0
{ -12A + 9B = -75
Складываем уравнения:
0A + 25B = -75
[b]B = -3[/b]
3A + 4(-3) = 0
3A - 12 = 0
[b]A = 4[/b]
Частное решение ЛНДУ:
y(н) = 4cos 2x - 3sin 2x
Общее решение ЛНДУ:
y = y(о) + y(н) = e^(-3x)*(C1*cos 2x + C2*sin 2x) + 4cos 2x - 3sin 2x