Задача 78300 Решить системы линейных уравнений...
Условие
Решение
{ 3x + 4y - 2z = 11
{ 3x - 2y + 4z = 11
Записываем расширенную матрицу системы:
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 & | & 14 \\
3 & 4 & -2 & | & 11 \\
3 & -2 & 4 & | & 11 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на 3, а 2 и 3 строки на -2:
[m]\begin{pmatrix}
6 & -3 & -3 & | & 42 \\
-6 & -8 & 4 & | & -22 \\
-6 & 4 & -8 & | & -22 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 1 и 2 строки и отдельно 1 и 3 строки:
[m]\begin{pmatrix}
6 & -3 & -3 & | & 42 \\
0 & -11 & 1 & | & 20 \\
0 & 1 & -11 & | & 20 \\
\end{pmatrix}[/m]
1 строку обратно делим на 3:
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 & | & 14 \\
0 & -11 & 1 & | & 20 \\
0 & 1 & -11 & | & 20 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 3 строку на 11:
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 & | & 14 \\
0 & -11 & 1 & | & 20 \\
0 & 11 & -121 & | & 220 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 2 и 3 строки:
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 & | & 14 \\
0 & -11 & 1 & | & 20 \\
0 & 0 & -120 & | & 240 \\
\end{pmatrix}[/m]
Делим 3 строку на -120:
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 & | & 14 \\
0 & -11 & 1 & | & 20 \\
0 & 0 & 1 & | & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
Записываем обратно систему с новыми коэффициентами:
{ 2x - y - z = 14
{ 0x - 11y + z = 20
{ 0x + 0y + z = -2
Отсюда:
[b]z = -2[/b]
Подставляем во 2 уравнение:
-11y - 2 = 20
-11y = 22
y = 22/(-11)
[b]y = -2[/b]
Подставляем y и z в 1 уравнение:
2x + 2 + 2 = 14
2x = 14 - 4 = 10
x = 10/2
[b]x = 5[/b]
Ответ: [b](5; -2; -2)[/b]